Лекция: Плоский изгиб icon

Лекция: Плоский изгиб



НазваниеЛекция: Плоский изгиб
Дата17.10.2016
Размер
ТипЛекция

Лекция: Плоский изгиб

Изгибом называется вид нагружения бруса, при котором к нему прикладывается момент, лежащий в плоскости проходящей через продольную ось. В поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты.

Изгиб называется плоским, если плоскость действия момента проходит через главную центральную ось инерции сечения.

Если изгибающий момент Mx является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называется чистым. При наличии поперечной силы изгиб называется поперечным.

Брус, работающий при изгибе, называется балкой.

Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента

Рассмотрим балку длиной l защемленную одним концом и находящуюся под действием сосредоточенной силы ^ Р (рис.6.1). Пусть для определенности Р=4 кН, l = 2 м.

Определим внутренние силовые факторы, возникающие в балке. Воспользуемся методом сечением.

Рассечем балку поперечным сечением в произвольном месте.

Отбросим правую часть.

Заменим ее действие внутренними усилиями N - вдоль оси z, Qy - вдоль оси y и моментом Mx – в плоскости осей yz вокруг оси х. На рис.6.2 в соответствии с принятым правилом знаков показаны положительные направления внутренних силовых факторов.

Уравновесим отсеченную часть. Запишем уравнения статического равновесия, получим



Из первого уравнения видно, что нормальная сила ^ N при изгибе равна нулю, далее не будем ее определять.

Построим эпюры поперечной силы Qy и изгибающего момента Mx вдоль длины балки.

Поперечная сила постоянна по всей длине балки и равна Qy = P = 4 кН. Отложим на графике линию параллельную оси z.

Изгибающий момент Мх изменяется в зависимости от расстояния z. Вычислим его значение в двух точках: в начале z = 0 и в конце балки z = l = 2 м.

z = 0, Мх = 0;

z = 2 м, Мх = 8 кНм.

Построим по точкам график Мх.

Построение эпюр поперечной силы Qy и изгибающего момента Mx является одним из основных этапов при расчете конструкций на изгиб. По эпюрам Qy и Mx определяется опасное сечение, т.е. сечение в котором может произойти разрушение.

^ Опасным сечением называется сечение, в котором изгибающий момент достигает наибольшего по модулю значения .

В некоторых случаях опасным сечением может быть также сечение, где наибольшего значения достигает поперечная сила . В данном случае опасным является место закрепления балки.

Рассмотрим примеры построения эпюр Qy и Mx.

Пример 1

Для балки, изображенной на рис.6.2 построить эпюры поперечной силы Qy и изгибающего момента Mx и определить опасное сечение. Пусть величины P = 10 кН, a = 2 м, b = 3 м.

Решение.

Определим реакции опор. Запишем уравнения равновесия статики. Из этих уравнений получим:



кН.

кН.

Для проверки правильности определения реакции опор используем уравнение:

; .

6 – 10 + 4 = 0,

0 º 0.

Значит, реакции определены правильно.

Определим внутренние усилия, возникающие в материале балки. Следует рассмотреть два участка, границами участков являются точки приложения сосредоточенной силы Р и опорных реакций RA и RB. Обозначим границы участков буквами А, С и В.

Рассечем первый участок АС.

Отбросим правую часть, т.к. она сложнее.

Заменим отброшенную часть внутренними усилиями Qy и Mx.

Уравновесим отсеченную часть, запишем уравнения равновесия:

 



Вычислим Qy и Mx в граничных точках участка:

при z1 = 0, Qy1 = RA = 6 кН, Mx1 = 0;

при z1 = а = 2 м, Qy1 = RA = 6 кН, Mx1 = 12 кНм.

Рассмотрим второй участок СВ. Рассечем его и отбросим левую часть, заменим её внутренними силами. Из уравнений равновесия получим



Вычислим Qy и Mx в граничных точках участка:

при z2 = 0, Qy2 = - RВ = - 4 кН, Mx2 = 0;

при z2 = а = 3 м, Qy2 = - RВ = - 4 кН, Mx2 = 12 кНм.

Построим эпюры Qy и Mx.

По полученным эпюрам определим опасное сечение, оно проходит через точку приложения силы P, так как Mx достигает там наибольшего значения.

Пример 2

Для представленной на рис.6.3 балки построить эпюры внутренних сил, найти опасные сечения.

 

 

 

 

 

 

Решение.

Определим реакции опор. Заменим распределенную нагрузку q её равнодействующей G=2qa, приложим G в середине участка АС (рис.6.4).

Запишем уравнение равновесия.




;

;

.

 

Отсюда находим:

 

; .

Выполним проверку правильности определения реакций опор.

;

;

0 º 0.

Используя метод сечений, рассмотрим сечения участков балки (рис.6.5).

1 участок:

;

.

.

Вычислим Qy1 и Mx2 на границах участка.

z=0, , ;

z=2a, , ;

2 участок:

;

.

;

.

На границах участка получим

z=0, , ;

z=a, , ;

Построим эпюры Qy и Mx на участках. Из выражений для внутренних усилий следует, что Qy, эпюра является прямолинейной как на первом, так и на втором участках, в то время как эпюра Мх на первом участке квадратичная парабола, а на втором прямая линия. Для построения эпюры Мх на первом участке следует либо вычислить её значения в нескольких точках, либо исследовать функцию на экстремум и определить его.

Как известно из курса математического анализа, для определения экстремума функции следует определить ее первую производную, приравняв ее нулю найти аргумент, затем его значение подставить в функцию и вычислить экстремум функции.

,

,

,

.

Отложим значение Мх max и построим эпюру изгибающего момента на первом участке по трем точкам (рис.6.5).

По эпюре находим опасное сечение. Им является сечение, где .

Правила проверки эпюр

Если сравнить выражения первой производной от изгибающего момента и поперечной силы на первом участке, то можем видеть, что

,

то есть первая производная от изгибающего момента по длине участка равна поперечной силе.

Это соотношение в общем виде было получено Журавским и носит название теоремы Журавского.

На основании теоремы Журавского могу быть сформулированы правила проверки эпюр:

1.       В точке приложения сосредоточенной силы на эпюре Qy должен быть скачок, равный по величине и знаку приложенной силе.

2.       В точке приложения сосредоточенного момента на эпюре Mx должен быть скачок, равный по величине и по знаку приложенному моменту.

3.       На участке, где приложена распределенная нагрузка, эпюра Qy является наклонной прямой (наклон по направлению действия нагрузки), а эпюра Mx - кривой, выпуклость которой направлена навстречу распределенной нагрузке.

4.       На участках, где Qy > 0, Mx возрастает, на участках, где Qy< 0, Mx убывает, если Qy = 0 (эпюра пересекает нулевую линию), то эпюра Мx имеет экстремум.

5.       В тех точках, где на эпюре Qy имеется скачок, на эпюре Мx будет излом.

6.       Чем больше по модулю величина Qy , тем круче изменяется эпюра Мx.

7.       На свободных концах балки изгибающий момент равен нулю.

Эти правила справедливы, если проверять эпюры, начиная с левого конца балки к правому.

Напряжение при чистом изгибе

Определим нормальные напряжения, возникающие при чистом изгибе балки находящейся под действием моментов Мх.

В произвольной точке балки (рис.6.6, т.^ А) в общем случае могут возникать нормальные напряжения как вдоль продольной оси σz, так и вдоль поперечных осей σx, σy. Однако экспериментально установлено, что нормальные напряжения σx, σy пренебрежимо малы по сравнению с напряжениями σz. Принимается так называемая гипотеза ненадавливания продольных волокон σx = 0, σy = 0. Поэтому можно принять, что материал балки находится при линейном напряженном состоянии вдоль оси z, и деформации подчиняются закону Гука. То есть нормальные напряжения при изгибе можно определить из формулы.

Установим закон изменения деформаций при изгибе балки. Экспериментально получено, что в деформируемой балке поперечные сечения плоские до деформации остаются плоскими и поперечными после деформации, имеет место гипотеза плоских сечений. При этом верхние волокна удлиняются, нижние укорачиваются, а продольная линия не меняет своей длины. Слой балки, не испытывающий при изгибе ни растяжения ни сжатия, называется нейтральным слоем. Линия пересечения нейтрального слоя и плоскости поперечного сечения называется нейтральной линией.

Определим относительную деформацию волокна ав εz (далее будем обозначать ее просто ε).

,

где r - радиус кривизны нейтрального слоя,

у - расстояние от нейтрального слоя до рассматриваемого волокна балки.

Подставляя это соотношение в закон Гука, получим:


e






(6.1)

т.е. напряжения s линейно зависят от координаты у.

Используя интегральную связь между напряжениями и изгибающим моментом

,

подставляя в него соотношение (6.1), получим , где - осевой момент инерции сечения.

Тогда получим выражение , подставляя которое в (6.1) окончательно имеем формулу для нормальных напряжений при изгибе

.

Эпюра нормальных напряжений показана на рис.6.6. Как видно, на нейтральной линии они равны нулю, максимального значения напряжения достигают в крайних верхних и нижних волокнах балки.

.

Обозначая , получим формулу для максимальных напряжений в произвольном сечении

,

где Wx – осевой момент сопротивления сечения изгибу, геометрическая характеристика поперечного сечения.

Условие прочности при изгибе

Максимальное нормальное напряжение в балке возникает в сечении, где изгибающий момент достигает наибольшей по модулю величины, то есть в опасном сечении

.

^ Условие прочности при изгибе формулируется следующим образом: Балка будет прочной, если максимальные нормальные напряжения не превысят допускаемых напряжений

.

Величина допускаемых напряжений назначается в зависимости от материала, из которого изготовлена балка.

Пластичные материалы обладают примерно равными пределами текучести на сжатие и на растяжение равны между собой и поэтому .

Для хрупких материалов, у которых прочность при сжатии выше, чем при растяжении, допускаемые напряжения на растяжение и сжатие, как правило, не равны между собой и, поэтому, необходимо записывать два условия прочности

, ,

где и - расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных растянутого и сжатого волокон.

Напряжения при поперечном изгибе

Нормальные напряжения, возникающие при поперечном изгибе, с достаточной для практических целей точностью могут определяться по формулам чистого изгиба. Поэтому условия прочности по нормальным напряжениям имеют тот же вид, что и для чистого изгиба.

Касательные напряжения в поперечных сечениях балки появляются при нагружении балки сосредоточенными и распределенными силами. Величина их определяется формулой Журавского:

,

где - поперечная сила,

- статический момент отсеченной части сечения относительно нейтральной оси,

b - ширина сечения,

- осевой момент инерции.

Эпюра касательных напряжений показана на рис.6.6.

Условие прочности по касательным напряжениям будет иметь вид:



где - наибольшая по модулю поперечная сила,

- статический момент инерции верхней половины сечения.

Полная проверка прочности балки

При поперечном изгибе в произвольной точке балки (рис.6.6 т.В) одновременно действуют как нормальные напряжения, так и касательные. Материал балки находится при плоском напряженном состоянии, поэтому для оценки прочности следует воспользоваться теориями прочности, например, третьей . Если подставить выражения для главных напряжений (3.4), то получим

.

Эпюра эквивалентных напряжений, построенная для прямоугольного сечения, показана на рис.6.6.

Для обеспечения прочности балки при совместном действии как нормальных, так и касательных напряжений должно выполняться условие

.

Рациональные формы сечений балок

Рациональным можно считать сечение балки, которое при равной с другими сечениями площади имеет наименьшие напряжения.

Максимальные напряжения, возникающие в балке при действии заданной нагрузки, тем меньше чем больше осевой момент сопротивления сечения изгибу. Поэтому, сечения с большим Wx ,будут более рациональными. Так например, прямоугольное сечение, показанное на рис.6.7а предпочтительнее использовать при изгибе под действием вертикальной нагрузки так как осевой момент сопротивления сечения изгибу для него будет больше чем для этого же сечения, но повернутого на 90о (рис.6.7б).

Анализируя эпюры напряжений, можно отметить, что на продольной линии нормальные напряжения равны нулю, касательные напряжения достигают максимума, в крайних волокнах, наиболее удаленных от продольной линии, наоборот нормальные напряжения достигают наибольших по модулю значений, а касательные напряжения равны нулю. Расчетная практика показала, что нормальные напряжения, как правило, в несколько раз больше касательных. Поэтому имеет смысл проектировать сечения так, что в зоне действия больших напряжений находилось бы большая часть материала. Этому требованию отвечают сечения в виде двутавровых и швеллеровых прокатных профилей, а также различные коробчатые и кольцевые сечения.

Перемещения при плоском изгибе

При изгибе рассматриваются перемещений: прогиб и угол поворота поперечного сечения. Прогибом балки δ называется величина, на которую перемещается центр тяжести поперечного сечения в направлении, перпендикулярном первоначальной оси балки. Углом поворота поперечного сечения q называется угол, на который поворачивается поперечное сечение при деформации балки (рис.6.9).

В дальнейшем будем считать, что прогибы и углы поворота балки малы и , а .

Приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки имеет вид: .

Если балка имеет один участок, то это уравнение можно непосредственно проинтегрировать:

, ,

где - жесткость при изгибе, С и D - константы интегрирования, которые представляют собой прогиб и угол поворота в начале координат и определяются из граничных условий задачи.




Похожие:

Лекция: Плоский изгиб iconТ. В. Ермакова Данная работа посвящена возможностям применения рядов Фурье к решению некоторых задач изгиба балок. Рассмотрен один из примеров статически неопределимой балки изгиб балки, изгибающий момент, прогиб
Изгиб балки, изгибающий момент, прогиб, угол поворота поперечного сечения, ряд Фурье
Лекция: Плоский изгиб iconПротив ветра
Остров был открыт всем ветрам. Чуть приподнявшийся над ледяными полями, он был затерян среди моря, пустынный, плоский, выметенный...
Лекция: Плоский изгиб iconСопративление материалов
Для заданных стержневых систем построить эпюры внутренних силовых факторов, предварительно изучив соответствующие разделы программы...
Лекция: Плоский изгиб iconЛекция № Лекция № Лекция №4
Любое смешанное число n в любой позиционной системе счисления r может быть представлено степенным многочленом – полиномом
Лекция: Плоский изгиб iconЛекция 2-07 Лекция 2-07
Для создания собственных (пользовательских) объектов в JavaScript можно использовать два способа
Лекция: Плоский изгиб iconЛекция 25 Операционные усилители
Лекция 25. Основные параметры и характеристики оу. Обобщенные структурные схемы трех- и двухкаскадого оу
Лекция: Плоский изгиб iconЛекция по экономике Лекция №1. Экономика
Общественная наука, изучающая выборы, которые люди совершают, используя ограниченные ресурсы
Лекция: Плоский изгиб iconЛекция по результатам работы лаборатории K7 (Лаборатория совершенных комбинаторных структур) Аннотация
Лекция-семинар: Построение математических моделей целочисленного линейного программирования
Лекция: Плоский изгиб iconЛекция и традиционный семинар. Также в ходе проведения занятий используются интерактивные образовательные технологии такие как проблемная лекция, интерактивная лекция, диспут, деловая игра
...
Лекция: Плоский изгиб iconЛекция для студентов специальности 1-24 01 02 правоведение, специализации 1-24 01 02 07
К 31 Ревизия и ее значение при расследовании уголовных дел: Лекция. – Горки: Белорусская государственная сельскохозяйственная академия,...
Разместите ссылку на наш сайт:
Уроки, сочинения


База данных защищена авторским правом ©izlov.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
связаться с нами