Модель Леонтьева icon

Модель Леонтьева




Скачать 239.35 Kb.
НазваниеМодель Леонтьева
Дата30.01.2014
Размер239.35 Kb.
ТипЗадача

Задача № 3


В таблице приведены данные об исполнении баланса. Используя модель Леонтьева многоотраслевой экономики, вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный выпуск энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроительной сохранится на прежнем уровне.

Вариант 1.



Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт






Энергетическая

100

160

240

500






Машиностроение

275

40

85

400




Решение

1. Вычисляем коэффициенты прямых затрат aij, показывающие, какой объем продукции i-й отрасли идет на производство одной единицы продукции j-й отрасли:



2. Выписываем столбец валового выпуска X, столбец нового конечного выпуска Y, а также матрицу прямых затрат А:



3. Вычисляем матрицу E-A:



4. Вычисляем матрицу полных затрат S=(E-A)-1. Каждый элемент sij этой матрицы показывает величину валового выпуска i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска одной единицы конечного продукта j-й отрасли.

4.1. Вычисляем определитель

4.2. Находим транспонированную матрицу.

4.3. Строим присоединенную матрицу:





4.4. Находим обратную матрицу: .

5. Вычисляем новый вектор валового выпуска:

.

6. Строим новую балансовую таблицу, предварительно вычисляя недостающие величины:








Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт






Энергетическая

186,4

265,6

480

932






Машиностроение

512,6

66,4

85

664




Проверка:
^

Задача № 4


В результате маркетингового исследования установлено, что функции спроса и предложения имеют вид:

1. - спроса,

- предложения,

где p – цена товара.

Найти:

  1. Равновесную цену p0.

  2. Эластичность спроса и предложения для этой цены.

  3. Изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.

Решение

1. Определяем равновесную цену p0, при которой спрос равен предложению.



Отсюда p0=2. (Отрицательный корень отбрасываем, как не имеющий экономического смысла.)

Графики зависимостей спроса и предложения от цены представлен на рис. 1.



Рис.1. Зависимости спроса и предложения от цены.

2. Находим эластичности спроса и предложения для равновесной цены.

2.1. Находим производные q’(p) и s’(p):

;

.

2.2. Получаем общие выражения для эластичностей спроса и предложения:

;

.

2.3. Вычисляем эластичности спроса и предложения при равновесной цене:



Таким образом, при увеличении цены на 1% от равновесного значения спрос уменьшается на 0, 3%, а предложение возрастает на 0,8%.

3. Выведем общее выражение для эластичности дохода R=pq по цене, пользуясь свойствами эластичности и подставим в него численные значения p0 и E2(s):





Это означает, что при увеличении цены на ^ 1% от равновесного значения доход увеличивается на 0,7%. Следовательно, при увеличении цены на 5% от ее равновесного значения доход увеличится на 50,7%=3,5%.

Ответ: 1) равновесная цена товара равна 2; 2) при увеличении цены на 1% от равновесного значения спрос уменьшается на 0, 3%, а предложение возрастает на 0,8%; 3) при увеличении цены на 5% от ее равновесного значения доход увеличится на 3,5%.
^

Задача №6


Производственная функция фирмы представляет собой функцию Кобба-Дугласа:

,

где: x—объем основных фондов, руб.;

y—объем трудовых ресурсов, чел. ;

z—объем выпуска продукции, руб.;

A, α, β>0—постоянные величины, причем α+ β≤1.

Известно также, что увеличения выпуска продукции на a% можно достичь или увеличением основных фондов на b% или увеличением численности работников на c%. В настоящее время один работник производит за месяц продукции на M руб., а численность работников L. Основные фонды оцениваются в K руб. Период амортизации основных фондов—N месяцев, а месячная зарплата— s руб. в месяц.

Найдите:

1) явный вид производственной функции этой фирмы;

2) оптимальный размер фирмы, т.е. численные значения x и y, обеспечивающие максимальную прибыль.

a=3, b=6, c=9, M=104, L=103, K=108, N=12, s=1000.

Решение

Прежде всего установим экономический смысл параметров α и β. Для этого найдем частные эластичности выпуска по основным фондам и трудовым ресурсам.

Находим и :

;


.

Находим частные эластичности выпуска продукции по основным фондам и трудовым ресурсам:

;

.

Таким образом, параметр α показывает, на сколько процентов изменяется выпуск продукции при увеличении объема основных фондов на 1%. Аналогично, параметр β показывает, на сколько процентов изменяется выпуск продукции при увеличении объема трудовых ресурсов предприятия на 1%.

После этих вводных замечаний приступаем к решению задачи.

1. Определим явный вид производственной функции.

1.1. Учитывая экономический смысл параметров α и β, получаем:

;

.

Производственная функция принимает вид: . (1)

1.2. Определяем параметр A.

Для этого подставляем в выражение (1) известные величины M=104, L=103, K=108 и, учитывая, что в настоящее время выпуск продукции равен , получаем следующее уравнение для определения A:

, откуда A=100.

Таким образом, производственная функция данной фирмы имеет вид

(2)

2) Определим оптимальный размер фирмы.

В качестве критерия оптимизации выбираем прибыль, т.е. оптимальным будем считать такой размер фирмы, при котором ее прибыль максимальна.

Выражение для прибыли имеет вид:

, (3)


где p1-себестоимость одной единицы основных фондов,

p2-себестоимость одной единицы трудовых ресурсов.

По условию задачи .

Таким образом, задача свелась к нахождению максимума функции двух переменных:

, (4)

который находится по общим правилам дифференциального исчисления.

2.1. Находим все частные производные функции (4) первого и второго порядка:





2.2. Находим критические точки функции, приравнивая первые частные производные к нулю и решая получившуюся систему уравнений:



Выражаем из первого уравнения и подставляем во второе. Получаем:

.

Отсюда .

Поставляя найденное значение y в первое уравнение, находим x:



Итак, точка является критической точкой функции прибыли данной задачи.

Однако равенство нулю частных производных первого порядка является необходимым, но совсем не достаточным условием экстремума функции двух переменных. Для ответа на этот вопрос следует воспользоваться достаточным признаком экстремума, что и будет сделано в следующем пункте.

2.3. Вычисляем значения вторых производных в критической точке:



Вычисляем определитель:



Поскольку a<0, D>0, то на основании достаточного признака экстремума функции двух переменных делаем вывод о том, что точка является точкой максимума функции прибыли. Следовательно, это и есть оптимальный размер фирмы.

2.4. Вычислим оптимальный объем выпуска продукции z0 и оптимальную прибыль :





Ответ: Оптимальными для данной фирмы являются: объем основных фондов 1,44108 руб, численность работников 8103 чел. При этом прибыль будет максимальна и составит 4106 руб при объеме выпуска продукции, равном 2,4107 руб.
^

Задача № 3


В таблице приведены данные об исполнении баланса. Используя модель Леонтьева многоотраслевой экономики, вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный выпуск энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроительной сохранится на прежнем уровне.

Вариант 1






Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт






Энергетическая

10

18

72

100






Машиностроение

23

13

64

100




Вариант 2






Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт






Энергетическая

12

30

58

100






Машиностроение

20

10

70

100




Вариант 3






Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт






Энергетическая

14

20

66

100






Машиностроение

12

7

81

100




Вариант 4






Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт







Энергетическая

22

25

53

100







Машиностроение

45

16

39

100




Вариант 5






Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт







Энергетическая

11

16

73

100







Машиностроение

24

15

61

100




Вариант 6






Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт







Энергетическая

9

19

72

100







Машиностроение

12

6

82

100




Вариант 7






Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт







Энергетическая

10

18

72

100







Машиностроение

13

7

80

100




Вариант 8






Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт







Энергетическая

31

18

51

100







Машиностроение

10

4

86

100




Вариант 9






Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт







Энергетическая

30

17

53

100







Машиностроение

9

5

86

100




Вариант 10






Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт




Энергетическая

11

15

74

100




Машиностроение

10

5

85

100

Вариант 11






Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт




Энергетическая

13

25

62

100




Машиностроение

3

24

73

100

Вариант 12






Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт




Энергетическая

15

23

62

100




Машиностроение

50

1

49

100

Вариант 13






Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт




Энергетическая

14

24

62

100




Машиностроение

42

7

51

100

Вариант 14






Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт




Энергетическая

15

25

60

100




Машиностроение

11

31

58

100

Вариант 15






Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт




Энергетическая

16

26

58

100




Машиностроение

10

32

58

100

Вариант 16






Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт




Энергетическая

17

27

56

100




Машиностроение

11

29

60

100

Вариант 17






Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт




Энергетическая

18

22

60

100




Машиностроение

13

16

71

100

Вариант 18






Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт




Энергетическая

3

14

83

100




Машиностроение

14

15

71

100

Вариант 19






Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт




Энергетическая

9

50

41

100




Машиностроение

21

12

67

100

Вариант 20






Отрасль

Потребление

Конечный продукт

Валовой продукт




Энергетическая

11

22

67

100




Машиностроение

12

21

67

100
^

Задача № 4


В результате маркетингового исследования установлено, что функции спроса и предложения имеют вид:

1. - спроса,

- предложения,

2. - спроса,

- предложения,

3. - спроса,

- предложения,

4. - спроса,

- предложения,

5. - спроса,

- предложения,

6. - спроса,

- предложения,

7. - спроса,

- предложения,

8. - спроса,

- предложения,

9. - спроса,

- предложения,

10. - спроса,

- предложения,

11. - спроса,

- предложения,

12. - спроса,

- предложения,

13. - спроса,

- предложения,

14. - спроса,

- предложения,

15. - спроса,

- предложения,

16. - спроса,

- предложения,

17. - спроса,

- предложения,

18. - спроса,

- предложения,

19. - спроса,

- предложения,

20. - спроса,

- предложения,

где p – цена товара.

Найти:

  1. Равновесную цену p0.

  2. Эластичность спроса и предложения для этой цены.

  3. Изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.
^

Задача №6


Производственная функция фирмы представляет собой функцию Кобба-Дугласа:

, где

x—объем основных фондов, руб.;

y—объем трудовых ресурсов, чел. ;

z—объем выпуска продукции, руб.;

A, α, β>0—постоянные величины, причем α+ β≤1.

Известно также, что увеличения выпуска продукции на a% можно достичь или увеличением основных фондов на b% или увеличением численности работников на c%. В настоящее время один работник производит за месяц продукции на M руб., а численность работников L. Основные фонды оцениваются в K руб. Период амортизации основных фондов—N месяцев, а месячная зарплата—s руб. в месяц.

Найдите:

^ 1) явный вид производственной функции этой фирмы;

2) оптимальный размер фирмы, т.е. численные значения x и y, обеспечивающие максимальную прибыль.

Вариант 1. a=1, b=2, c=3, M=103, L=103, K=105, N=5, s=1000.

Вариант 2. a=1, b=3, c=2, M=104, L=102, K=106, N=24, s=5000.

Вариант 3. a=1, b=3, c=3, M=104, L=103, K=106, N=30, s=104.

Вариант 4. a=1, b=2, c=4, M=104, L=50, K=107, N=12, s=1000.

Вариант 5. a=2, b=5, c=5, M=104, L=50, K=107, N=18, s=3000.

Вариант 6. a=2, b=5, c=4, M=103, L=104, K=107, N=6, s=1000.

Вариант 7. a=3, b=6, c=9, M=103, L=104, K=107, N=6, s=1000.

Вариант 8. a=2, b=6, c=8, M=106, L=103, K=1010, N=60, s=10000.

Вариант 9. a=1, b=4, c=5, M=104, L=104, K=1010, N=12, s=1000.

Вариант 10. a=2, b=10, c=6, M=103, L=103, K=103, N=12, s=1000.

Вариант 11. a=1, b=2, c=3, M=103, L=103, K=105, N=5, s=1000.

Вариант 12. a=1, b=3, c=2, M=104, L=102, K=106, N=24, s=5000.

Вариант 13. a=1, b=3, c=3, M=104, L=103, K=106, N=30, s=104.

Вариант 14. a=1, b=2, c=4, M=104, L=50, K=107, N=12, s=1000.

Вариант 15. a=2, b=5, c=5, M=104, L=50, K=107, N=18, s=3000.

Вариант 16. a=2, b=5, c=4, M=103, L=104, K=107, N=6, s=1000.

Вариант 17. a=3, b=6, c=9, M=103, L=104, K=107, N=6, s=1000.

Вариант 18. a=2, b=6, c=8, M=106, L=103, K=1010, N=60, s=10000.

Вариант 19. a=1, b=4, c=5, M=104, L=104, K=1010, N=12, s=1000.

Вариант 20. a=2, b=10, c=6, M=103, L=103, K=103, N=12, s=1000.




Похожие:

Модель Леонтьева iconМодель Леонтьева
Используя модель Леонтьева многоотраслевой экономики, вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный...
Модель Леонтьева iconМодель Леонтьева
В таблице приведены данные об исполнении баланса. Используя модель Леонтьева многоотраслевой экономики, вычислить необходимый объем...
Модель Леонтьева iconУрок №13 Тема: Математические модели. Контрольная работа №2. Цели урока
Основные понятия: Модель, информационная модель, знаковая информационная модель, математическая модель
Модель Леонтьева iconТема №1. Порождающая модель авторск тв-ва ж-та: параметры уточнения
Стержнем проф деят-ти ж-та явл-ся авторское творч-во,т е. Созд-е текстов особого рода и предназначения. Предст-ние об их хар-ных...
Модель Леонтьева icon1- блок. 2009/2010 уч год Понятие модели и моделирование Модель
...
Модель Леонтьева iconУрок 10 Тема урока: Обработка словесных информационных моделей
Что такое модель? (Модель – это объект, который используется в качестве «заместителя», представителя другого объекта (оригинала)...
Модель Леонтьева icon05. 13. 15 Вычислительные машины, комплексы и компьютерные сети
Модель коллектива вычислителей. Принципы построения вычислительных систем. Структура вс: типовые структуры сетей межпроцессорных...
Модель Леонтьева iconУрок физики для 11 класса по теме «Интерференция механических волн»
Хладни, Flash модель интерференции (зао «1 С», единая коллекция цифровых образовательных ресурсов), авторская Flash модель волновой...
Модель Леонтьева iconЛекция 9 Тема: Архитектура и принципы построения сетей
Эталонная модель взаимосвязи открытых систем (модель osi), логическая структура коммуникационных сетей с маршрутизацией и селекцией...
Модель Леонтьева iconЛекция 3: Комплекс взаимодействий модель взаимодействий в социуме
Как представляется, модель «Комплекс взаимодействий» дает определенное представление о стандартных, универсальных чертах социальных...
Разместите ссылку на наш сайт:
Уроки, сочинения


База данных защищена авторским правом ©izlov.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
связаться с нами