Лекция 12 Тема: Формирование современной алгебры. Создание неевклидовой геометрии icon

Лекция 12 Тема: Формирование современной алгебры. Создание неевклидовой геометрии



НазваниеЛекция 12 Тема: Формирование современной алгебры. Создание неевклидовой геометрии
Дата17.10.2016
Размер
ТипЛекция

Лекция 12

Тема: Формирование современной алгебры. Создание неевклидовой геометрии.


План:

  1. Современная алгебра.

  2. Создание неевклидовой геометрии.

  3. Исследование Гаусса по неевклидовой геометрии.

  4. Геометрия Лобачевского.

  5. Эллиптическая геометрия.



Современная алгебра – чрезвычайно широкая и разветвленная область математики. Она объединяет большое число самостоятельных научных дисциплин. Их общим примером являются алгебраические операции, представляющие собой далеко идущие абстракции операций элементарной алгебры. Эти операции определяются в многообразных тождествах. Последние выбираются для исследования преимущественно из соображений их приложимости. При этом оказывается необходимым заботиться о сохранении известной близости свойств определенных в них операций и свойств операций над числами. Так выделился класс алгебраических образований, наибольшее значение среди которых приобрели поля, кольца, группы и структуры. Алгебра взаимодействует с другими областями математики, участвуя в образовании новых «пограничных» дисциплин (теоретическая алгебра, теория групп и алгебр Ли и т.п.).

Столь общие воззрения на природу и состав алгебры сложились по существу недавно лишь в XX в. Вплоть до XIX в. основной задачей алгебры являлось решение алгебраических уравнений, понимаемое как нахождение корней уравнений с помощью рациональных операций и операций извлечения корня. В поисках общей формулы математики перепробовали громадное количество методов и к самому концу XVIII в были вынуждены фактически рассмотреть поля и группы еще не вводя этих понятий явно.

На рубеже XVIII и XIX в. в алгебре были сделаны открытия необычайной важности. Они сопровождались введением в эту науку ряда новых понятий (в первую очередь понятия группы), которые легли в основу современной алгебры. Эти открытия повели к преобразованию всей алгебры в течение XIX в. Мы имеем здесь в виду результаты Г.Ф. Гаусса, И.Г.Абеля и Э.Галуа, относящиеся к доказательству основной теоремы алгебры, доказательству неразрешимости в радикалах уравнений степени и созданию теории Галуа.

Алгебра вырастала из арифметики, из вычислительной практики людей. тенденции роста, которые можно отнести к алгебраическим, проявились очень рано. Они вначале представляли собой стремление группировать однотипные задачи и формулировать, возможно, более общие правила их решения. У них была общая особенность: неизвестное, которое требуется отыскать по условию задачи, получало свое особое название, а затем обозначалось специальным символом. В течение всей истории алгебры выделение и обозначение неизвестной было непременным признаком алгебраичности суждений.

Запись производимых с целью решения задач действий, содержащая символ неизвестной, представляет собой по существу уравнение. Именно поэтому историки науки сравнительно легко переписывают такие тексты в виде алгебраических уравнений с применением современной символической записи. Древние математические источники свидетельствуют, что в догреческой математике умели решать задачи, сводящиеся к уравнениям 1-й и 2-й степени.

В более поздней математике Древней Греции, возобладали тенденции отделения геометрической части математических знаний, как обладающей наивысшей по тем временам общностью, от числовых ее компонентов. Соответственно источники математики Древней Греции донесли до нас элементы алгебраического характера в двух разновидностях: в виде геометрической алгебры, о наличии которой свидетельствуют «Начала» Евклида, и в буквенно-символическом виде, каким был неопределенный анализ Диофанта.

Что касается элементов алгебры, которые были бы выражены в привычной нам символической форме, то от математиков Древней Греции не дошло до нас почти ничего. Сохранились, однако, упоминания о логистике, которую, судя по немногим отрывочным замечаниям, можно считать вычислительной математикой античности. Сохранилась информация о немногих ученых, занимавшихся прикладными задачами, и о том, что они применяли численно-символическую запись, например Герон (I в. н. э.), при записи квадратных уравнений.

Можно предположить, что сочинения этого жанра все же существовали, но господствующее мнение «ведущих» ученых тех далеких времен, относивших к математической науке только геометрические теоремы, создавало для восприятия элементов алгебры настолько неблагоприятные условия, что эти сочинения не сохранялись. Такое предположение переходит в уверенность, когда знакомишься с «Арифметикой» Диофанта. Это сочинение «Арифметика» Диофанта, время написания которой относят к III в. н. э., резко отличается от дошедших до нас классических сочинений постановкой задач, методикой их решения, алгебраической трактовкой величин и действий над ними.

Диофант рассматривал задачи из неопределенного анализа. Он отыскивал рациональные решения таких систем алгебраических уравнений, в которых число неизвестных превышает число уравнений. Такая проблематика очень трудна, актуальна и в наше время, и нельзя сказать, что сильно продвинута, хотя ею занимались крупнейшие математики. В системе современной математической науки она расположена на стыке теории чисел и алгебраической геометрии; ее теперь чаще называют диофантовым анализом.

«Арифметика» Диофанта состояла из 13 книг (частей); сохранились только первые 6 книг. В начале сочинения введена развитая алгебраическая символика и определен способ подхода к решению задач, характерный для алгебры. В «Арифметике» величины обозначены порядковыми буквами греческого алфавита, введены специальные символы для неизвестной и для первых ее 6 степеней. Показатели степеней у Диофанта не только положительные, но и отрицательные. Имеются специальные обозначения для свободного члена, для знака вычитания и знака равенства. Для сложения специального знака еще нет, слагаемые просто пишутся рядом. Явно сформулированы правила алгебраических операций, в том числе правило умножения и деления степеней неизвестной, правило перенесения членов уравнения с одной стороны знака равенства на другую и др.

Первые века нашей эры, как известно, не были благоприятными для развития наук, в том числе и для математики. Только гораздо позже, в государствах средневекового Востока, стали возникать научные центры, возрождались занятия математикой не только прикладной, но и теоретической. Научные сочинения в те времена были написаны на арабском языке, являвшемся официальным языком многих государств, расположенных на огромных пространствах — от Испании до Индии. Поэтому математику, о которой мы ведем здесь речь, называют нередко арабской или математикой стран ислама.

Основополагающим сочинением по алгебре был трактат узбекского математика и астронома IX в. аль-Хорезми «Китаб ал-Джебр валь-Мукабала». Название в переводе означает: книга об операциях джебр (восстановления) и мукабала (приведения). Первая из операций, из названия которой получилось название для всей алгебры, состоит в переносе членов уравнения с одной стороны знака равенства в другую. Вторая — является приведением подобных членов в уравнении. Решение уравнений рассматривается как самостоятельная наука. В книге содержатся систематические решения уравнений 1-й и 2-й степени вида



Хорезми приводит как арифметические, так и геометрические решения приведенных уравнений.

Алгебраические арабские трактаты IX—XV вв., помимо решения уравнений 1-й и 2-й степени, включали в себя и кубические уравнения. К последним приводили разнообразные задачи: а) рассечение шара плоскостью; б) трисекция угла; в) отыскание стороны правильного -угольника; г) отыскание стороны правильного -угольника и др. Одна из задач оптики (найти на данной окружности такую точку, чтобы луч, падающий из данной точки, отразился в другую заданную точку приводила к уравнению -й степени.

В методах решения кубических уравнений отразилось многообразие средств, присущее математике арабских ученых. Ряд трактатов содержит попытки численного решения этих уравнений; другие трактаты отражают античное влияние. В них строится теория решения кубических уравнений с помощью пересечения конических сечений.

Численные решения этих уравнений развивались, начиная от способа проб Бируни (973-1048) до изящного итерационного быстро сходящегося метода Каши (год рождения неизвестен - умер ок. 1436-1437). Рассмотрим последний метод подробнее. В самаркандской обсерватории Улугбека, оснащенной совершенными инструментами, была предпринята работа по составлению таблицы синусов с частотой через одну минуту и с точностью до девятого знака. Решающую роль в этой работе играла, как известно, точность вычисления синусов малых дуг, скажем . Исходя из значений и , ал-Каши нашел . Для нахождения отсюда значения он получил кубическое уравнение (так как )

Запишем для удобства пояснения метода ал-Каши уравнение в общем виде:

, или

Первое приближение в силу малости , а следовательно, и таково: . Результат вычисляется приближенный, с условием, чтобы остаток от деления был такого же порядка малости, что и .

Далее положим откуда

, т.е

имеет порядок ; он велик по сравнению с . Новое приближение получается, если пренебречь в числителе членами, содержащими у:



Следующий шаг состоит в том, что полагаем и операции повторяются в том же порядке, что и выше. По этому способу получаются следующие последовательные приближения:



Процесс сходится при <<, что в данном случае имеет место ввиду малости.

Этим способом было найденоверных знаков в десятичной системе (вначале был получен результат в - ричной системе). Принятая степень точности позволила вычислять таблицы тригонометрических функций с точностью до девятого знака. Такой уровень техники приближенных решений алгебраических уравнений в Европе был, достигнут лишь к концу XVI в.

Дальнейшее формирование алгебры происходило в странах Европы, где сложилась благоприятная для этого обстановка.

Наибольшие успехи наметились в построении формального символического аппарата алгебры и в тригонометрии. В XV—XVI вв. было произведено обобщение понятия числа, понятия степени, введены радикалы и операции над ними и др. Необходим был лишь практический успех, хотя бы небольшой, чтобы вся масса накопившихся предпосылок пришла в движение. И вот такой успех пришел. Это было решение в радикалах уравнений 3 -й и - й степени.

Сципион Дель Ферро нашел формулу для отыскания положительного корня конкретных уравнений вида .


С 1539 г. кубическими уравнениями начинает заниматься Кардано (1501 —1576). Кардано выпустил книгу «Великое искусство, или о правилах алгебры». Кардано ввел регулярный способ сведения полного кубического уравнения к виду, в котором отсутствует член с квадратом неизвестного, с помощью подстановки и распространил его на уравнения 4-й степени. Книга содержит множество теорем: о взаимозависимости корней и коэффициентов; о положительных и отрицательных (называемых «фиктивными») корнях, об их сумме и другие теоремы. Кардано показал делимость алгебраического полинома на , где - корень уравнения.

Кардано включил в свою книгу и метод решения уравнений 4-й степени путем сведения задачи к кубической, открытый его учеником Л. Феррари (1522-1565).

Столь быстрые и поразительные успехи в нахождении формулы решения уравнений 3-й и 4-й степени поставили перед математиками проблему отыскания решений уравнений любых степеней. Огромное число попыток, усилия виднейших ученых не приносили успеха. Задача с течением времени преобразовывалась и стала трактоваться как общая задача о возможности или невозможности решения алгебраических уравнений степени в радикалах. Поиски решения этой проблемы заняли около 300 лет. Только в XIX в. Н.-Х. Абель (1802-1829) доказал, что уравнения степени>, вообще говоря, в радикалах не решаются. Э.Галуа (1811-1832) связал с каждым уравнением специальную группу подстановок его корней — группу Галуа и свел проблему к исследованию структуры этой группы, ее разрешимости, выделив тем самым класс разрешимых уравнений.

На пути создания общей теории алгебраических уравнений и способов их решения стояли еще два препятствия: сложность, неудобство получаемых формул, а также неразъясненность неприводимого случая и появляющихся при этом мнимых величин. Первое составляло чисто практическое неудобство. Кардано устраняет его, предлагая находить корни уравнений приближенно с помощью правила двух ложных положений, известного еще от египтян и по существу применяемого и в наши дни в виде простой, или линейной, интерполяции. Второе препятствие имеет более глубокие корни, а попытки его преодоления повели к весьма важным последствиям.

О мнимых корнях упоминали многие математики. Кардано называл их «софистическими».

Итальянский математик и инженер Бомбелли (ок. 1530-1572) предпринял смелую попытку справиться с неприводимым случаем. В своем сочинении об алгебре (1572) он ввел формальные операции над мнимыми и комплексными числами. Он установил, что они производятся по правилам: , а также, что все выражения, содержащие «софистические минусы», приводятся к виду . Что касается неприводимого случая, то на конкретном примере Бомбелли показал, что вещественный корень получается как сумма двух комплексных чисел и .

Математики с трудом свыкались с представлением о существовании комплексных чисел. Недоверие было стойким и длительным. Оно оставило след в самом названии: мнимое число. Только в XIX в. недоверие стало рассеиваться, после того как были найдены удобные и понятные интерпретации комплексных чисел как точек на плоскости и доказана их полезность для приложений.

Около 100 лет тому назад К. Вейерштрасс (1815-1897) доказал, что совокупность всех комплексных чисел не может быть расширена за счет присоединения новых чисел, так, чтобы в расширенном множестве сохранились все законы действий над комплексными числами.

Что же касается появления в математике достаточно отчетливой абстракции действительного числа, то мы находим его в сочинении И. Ньютона (1643-1727) «Всеобщая арифметика» (впервые издана в 1707г.; написана по лекциям, прочитанным автором в 1673-1683 гг.).

Теория действительных чисел, соответствующая принятым ныне стандартам математической строгости, но в разных формах, была построена только в 70-х гг. XIX в. Р. Дедекиндом (1831-1916), Г. Кантором (1845-1918) и др.

Рост содержания математических знаний всегда тесно связан с развитием математической символики. Последняя, когда она хорошо отражает реальную сущность математических операций, активно воздействует на математику и сама приобретает оперативные свойства. Историю математических символов можно уподобить истории орудий труда, по которым можно многое восстановить и понять. Более того, именно развитая символика делает алгебру наукой об операциях над общими классами множеств: чисел, векторов, тензоров, матриц и др.

Франсуа Виет (1540-1603) положил много сил на усовершенствование тригонометрии и достиг замечательных успехов. Он написал— «Введение в искусство анализа».

Замысел Виета определялся следующими соображениями: крупные успехи итальянских математиков в решении уравнений 3-й и 4-й степени опирались на высокую эффективность алгебраических приемов. Но число отдельных алгебраических уравнений угрожающе быстро росло, достигая, например, у Кардано 66; каждый из этих видов уравнений требовал особых приемов. Необходимо было найти общие методы подхода к решению алгебраических уравнений; последние тоже должны рассматриваться в возможно более общем виде с буквенными коэффициентами. Кроме того, необходимо было сочетать эффективность алгебраических приемов со строгостью античных геометрических построений, хорошо знакомых Виету и представлявших, по его мнению, образцы подлинно научного анализа.

Символика Виета еще отягощена грузом геометрических привнесений; она тяжела, не всегда понятна, перемежается сокращенными и даже несокращенными словами. Вот примеры:

,или

т.е.

.

т. е.


Тем не менее, благодаря этой символике стало впервые возможным выражение уравнений, их свойств общими формулами.

^ Алгебра Виета была еще несовершенной и имела крупные недостатки. Ее очень утяжеляла видовая трактовка величин, обладающих размерностью. В ней нет общей трактовки степеней, все степени натуральные. Принципиальное разделение чисел и алгебраических величин позволяло ему употреблять радикалы лишь для чисел, а не для величин и т. п. Алгебру Виета скоро вытеснила алгебра Декарта. Однако известно, что Ферма, например, изучив алгебру Виета, придерживался ее формы, когда строил аналитическую геометрию. Виет проявил интерес к алгебре именно в силу ее пригодности и даже необходимости для задач тригонометрии и астрономии. Ему принадлежат разложения тригонометрических функций квадратных дуг, посредством последовательного применения формул для синуса и косинуса сумм двух углов.

После смерти Виета стали известны многие его рекуррентные формулы, например:









Значительным достижением Виета является введение им впервые в математику задачи о нахождении бесконечного произведения.

В европейской математике к концу XVI в. сформировалась алгебра как наука о решении уравнений.

Успехи алгебры на определенном уровне развития сыграли важную роль в появлении аналитической геометрии и математического анализа. Алгебраические составляющие этих наук в свою очередь являются их неотъемлемыми частями.

В 1692 году появился и термин «функция». Его ввел Лейбниц и обозначал им совокупность всех отрезков, длины которых зависят от положения точки на кривой (абсциссы, ординаты, отрезки касательных, нормалей и т.д.) термин был признан и быстро приобрел более широкую трактовку.

Весь изучаемый в школе математический материал был известен математикам издавна, еще до XVIII века.

Из богатой и разнообразной истории алгебры XIX в. мы выделили сравнительно небольшую область формирования некоторых основных понятий. Это сделано потому, что в выделении немногих алгебраических объектов - группы, поля, а позже кольца и структуры — и в создании соответствующих теорий отражаются главные изменения, происшедшие в алгебре в течение XIX — начала XX в. Эти изменения предопределили основные направления развития алгебры в первой половине XX в.

Более обстоятельное исследование истории создания современной алгебры связано с решением нескольких историко-математических задач.

Во-первых, необходимо проследить обогащение теории групп, а также теории других основных алгебраических понятий фактическим материалом, позволяющим полнее раскрывать их свойства. Так, наряду с историей конечных и непрерывных бесконечных групп большой интерес в силу их важности для приложений вызывают бесконечные дискретные группы.

Во-вторых, перед исследователями встает задача раскрытия связей теории групп (а также теории полей, колец и структур) с другими математическими дисциплинами. Например, наметившееся внедрение теоретико-групповых рассмотрений в область топологических свойств привело к тому, что теперь каждый топологический образ характеризуется в известной мере своей фундаментальной группой, в общем случае бесконечной. Особенно велика, по-видимому, роль теории групп в теории узлов, частным случаем которых являются косы. Среди многих задач, которые здесь предстоит решить, можно назвать, например, задачу подробного выяснения того обстоятельства, что в топологических образах фундаментальные группы несут, по-видимому, функции, сходные с функциями групп Галуа в алгебраических полях.

История алгебры XIX в. будет неполной, если исследователь не обратит внимания, в-третьих, на формирование линейной алгебры, выраставшей из теории систем линейных уравнений и связанной с ней теории определителей, и матриц. Во второй половине XIX в. велись весьма активные исследования теории инвариантов уравнений, т. е. выявления функций их коэффициентов, сохраняющих свои значения при том или ином заданном классе преобразований. На этом пути развития выросла более общая теория форм, нашедшая применение не только в алгебре, но и в других областях математики: теории чисел, дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии, механике и др., а также в их приложениях.

Мы не смогли, наконец, выделить место для освещения истории гиперкомплексных числовых систем Гамильтона и Грассмана, созданных в 1830—1840 гг., и для богатой совокупности средств изучения векторных пространств, играющих иные столь важную роль в исследовании различных, казалось бы, математических теорий с единых, весьма общих позиций.


Создание неевклидовой геометрии

Николай Иванович Лобачевский и открытие неевклидовой геометрии.

Многовековые попытки доказательства 5 постулата Евклида привели к появлению в начале 19 века новой геометрии, отличающейся от евклидовой тем, что в ней 5-ый постулат не выполняется. Эта геометрия носит в настоящее время имя Лобачевского, который впервые опубликовал работу с ее изложением.

Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) родился в Нижнем Новгороде (ныне Горький) в семье мелкого чиновника. Рано лишившись мужа, мать Лобачевского добилась принятия его в Казанскую гимназию. После ее окончания Лобачевский в 1807 г. поступил в открывшийся незадолго до этого Казанский университет, с которым был связан затем всю жизнь. Большое влияние на Лобачевского оказал приглашенный в Казань в 1808 г. друг Гаусса профессор М.Ф.Бартельс (1769-1836), впоследствии работавший в университете в Дерпте (ныне Тарту). Отлично учившийся молодой Лобачевский раздражал реакционное университетское начальство «мечтательным о себе самомнением, упорством, неповиновением», а также «возмутительными поступками», в которых автор одного из рапортов о нем усматривал «признаки безбожия». Однако профессора, и в первую очередь Бартельс, заступился за строптивого студента, и в 1811 году Лобачевский благополучно окончил университет, получив звание магистра. Став преподавателем университета, Лобачевский продолжал некоторое время работать под руководством Бартельса. В 1816 году он назначается экстраординарным профессором, в 1822 избирается ординарным профессором, в 1820 г.- деканом физико-математического факультета, а в 1827 г.- ректором университета. На этом посту, который он занимал до 1845 г., Лобачевский проявляет себя как блестящий организатор. В 1845 г. Лобачевский прекратил работу в университете, но до конца жизни был одним из руководителей обширного Казанского учебного округа.

Одной из предпосылок геометрических открытий Лобачевского был его материалистический подход к проблемам познания. Лобачевский был твердо уверен в объективном и не зависящим от человеческого сознания существовании материального мира и в возможности его познания.

Первое геометрическое сочинение Лобачевского - «Геометрия», написанное в 1823 г., было напечатано только после его смерти. Это оригинальное учебное пособие отражает раздумья Лобачевского об основаниях геометрии. К этому же времени относится одна из попыток Лобачевского доказать 5-ый постулат.

К 1826 г. Лобачевский пришел к убеждению в том, что 5-ый постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида и 11(23) февраля 1826 г. сделал на заседании факультета доклад «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы параллельных», в которой были изложены начала открытой им «воображаемой геометрии», как он называл систему, позднее названную геометрией Лобачевского. Доклад1826 г. вошел в состав первой публикации Лобачевского по неевклидовой геометрии – статьи «О началах геометрии», напечатанной в журнале Казанского университета «Казанский вестник» в 1829-1830 гг. Дальнейшему развитию и приложениям открытой им геометрии были посвящены мемуары «Воображаемая геометрия», «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» и «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных», опубликованные в «Ученых записках Казанского университета» соответственно в 1835, 1836 и 1835-1838 гг. Переработанный текст «Воображаемой геометрии» появился во французском переводе в Берлине, в Берлине же в 1840 г. вышли отдельной книгой на немецком языке «Геометрические исследований по теории параллельных линий» Лобачевского. Наконец, в 1855 и 1856 гг. он издал в Казани на русском и французском языках «Пангеометрию» (т.е. «Всеобщую геометрию»). Геометрия Лобачевского получила всеобщее признание математиков только после его смерти. Коллега Лобачевского по Казанскому университету Петр Иванович Котельников (1809-1879) в своей актовой речи 1842 г. открыто заявил: «Не могу умолчать о том, что тысячелетние тщетные попытки доказать со всей геометрической строгостью одну из основных теорем геометрии, равенство суммы углов в прямолинейном треугольнике двум прямым, побудили достопочтенного заслуженного профессора нашего университета предпринять изумительный труд – построить целую науку, геометрию, на новом предположении: сумма углов в прямолинейном треугольнике меньше двух прямых – труд, который рано или поздно найдет своих ценителей». Высоко оценил «Геометрические исследования» Гаусс, который провел Лобачевского (1842) в члены-корреспонденты Геттингенского учебного общества, бывшего по существу Академией наук Ганноверского королевства. Однако в печати с оценкой новой геометрической системы Гаусс не выступил.

^ Исследование Гаусса по неевклидовой геометрии.

Высокая оценка открытия Лобачевского Гауссом была связана с тем, что Гаусс, еще с 90-х годов 18 в. занимавшийся теорией параллельных линий, пришел к тем же выводам, что и Лобачевский. Свои взгляды по этому вопросу Гаусс не опубликовал, они сохранились только в его черновых записках и в немногих письмах к его друзьям. В 1799 г. Гаусс писал своему соученику по Геттингенскому университету Ф.Бояи (1775-1856) о своих занятиях теорией параллельных линий: «Правда, я достиг многого, что для большинства могло бы сойти за доказательство 5-го постулата, но это не доказывает в моих глазах ровно ничего: например, если бы кто-то мог сказать, что возможен такой прямолинейный треугольник, площадь которого больше любой заданной, то я был бы в состоянии доказать всю геометрию. Большинство сочтет это за аксиому, я же – нет. Так, могло бы быть, что площадь всегда будет ниже некоторого данного предела, сколько бы удаленными в пространстве ни были три вершины треугольника. Таких положений я имею много, но ни одно из них не нахожу удовлетворительным». В 1804 г. Гаусс пишет Ф.Бояи о его попытке доказательства 5 постулата в «Теории параллельных». Как видно, в это время Гаусс еще не оставил попыток доказать 5 постулат. В 1816 г. в письме к астроному Х.Л.Герлингу (1788-1864), установив, что при отказе от 5 постулата должна существовать абсолютная мера длины, Гаусс заявлял: «Я не нахожу в этом ничего противоречивого. Было бы даже желательно, чтобы геометрия Евклида не была бы истинной, потому что мы тогда располагали бы общей мерой». Эти слова показывают, что в 1816 г. Гаусс еще считает геометрию Евклида «истинной» в смысле физической реальности. Но уже в 1817 г. Гаусс пишет: «Я прихожу все более к убеждению, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим рассудком и для человеческого рассудка. Может быть, в другой жизни мы придем к взглядам на природу пространства, которые нам теперь недоступны. До сих пор геометрию приходится ставить не в один ранг с арифметикой». Отсюда виден источник сомнений Гаусса: первоначально он был сторонником мнения Канта об априорности математических понятий, но, размышляя о теории параллельных, пришел к выводу, что по крайней мере в геометрии такая априорность не имеет смысла. Возможно, что именно по этой причине Гаусс не опубликовал своих парадоксальных открытий.

Янош Бояи

Независимо от Лобачевского и Гаусса к открытию неевклидовой геометрии пришел и замечательный венгерский математик Янош Бояи (1802-1860). Я. Бояи заинтересовался проблемой параллельных под влиянием отца и уже в 1823 г. писал ему: «Правда, я не достиг еще цели, но получил весьма значительные результаты – из ни чего я создал целый мир». Отец, отчаявшийся в своих попытках доказательство 5 постулатов, умолял сына оставить эти занятия: «Ты не должен пытаться одолеть теорию параллельных линий на этом пути. Оставь в покое это учение, ты должен его страшиться». Когда Я. Бояи пришел к тем же идеям, что Лобачевский и Гаусс, отец не понял его однако, предложил напечатать краткое изложение его открытия в виде приложения к своему руководству по математике, вышедшему в 1832 г. Открытие не было признано при его жизни. В 1837 г. Я. Бояи участвовал в конкурсе на премию. Он переоткрыл теорию пар Гамильтона.

^ Геометрия Лобачевского

В мемуаре «О началах геометрии» (1829) Лобачевский прежде всего воспроизвел свой доклад в 1826 г. Определив затем основные понятия геометрии, не зависящие от 5 постулата, Лобачевский заявлял: «Мы видели, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть больше пи. Остается предполагать эту сумму равной пи или меньше пи.» Лобачевский указывает, что в «воображаемой геометрии» сумма углов треугольника всегда < пи и две прямые могут не пересекаться в случае, когда они образуют с секущей углы, в сумме < пи. Параллельные прямые определяются как такие, которые не пересекаются, но могут быть получены предельным переходом из пересекающихся. Через каждую точку плоскости проходят две прямые, параллельные данной прямой, лежащей в этой плоскости. Эти прямые делят пучок прямых, проходящих через данную точку, на четыре области, в двух из которых проходят прямые, пересекающие данную прямую, а в двух – прямые, которые не пересекают эту прямую и не могут быть получены предельным переходом из пересекающих – такие прямые называются расходящимися.

Круг при стремлении его радиуса к бесконечности переходит в системе Лобачевского не в прямую, а в особенного рода кривую «предельную круга» - в настоящее время такие кривые называют орициклами. Сфера при тех же обстоятельствах переходит не в плоскость, а в кривую поверхность, которую. Лобачевский назвал «предельной сферой», а в настоящее время именуют орисферой. Это позволяет, опираясь на евклидову тригонометрию на орисфере, вывести тригонометрию на плоскости в его геометрической системе. Под «строгим доказательством теоремы о параллельных линиях» Лобачевский понимал невозможность установить экспериментальным путем, какая из двух геометрий имеет место в реальном мире. Наиболее полным изложением системы Лобачевского являются его «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных». Далее определяются сечения тел, пространства, конгруэнтность тел и их равновеликость. Таким образом, изложение геометрии у Лобачевского основывается на чисто топологических свойствах прикосновения и сечения, конгруэнтность тел и равенство отрезков определяются по существу с помощью движения.

В позднейших работах Лобачевский ввел координаты и вычислил из геометрических соображений целый ряд новых определенных интегралов .

^ Распространение идей геометрии Лобачевского

Новая система геометрии не получила признания при жизни ее творцов. Положение изменилось только в 60-х годах 19 в. В 1860-1865 гг. , вскоре после смерти Гаусса, была издана его переписка с астрономом Г.Х. Шумахером (1780-1850). В 1866г. в Бордо и Париже появляется французский перевод «Геометрических исследований» Лобачевского, выполненный Г.Ж. Оюэлем, а в 1867 г. в Париже выходит «Критический очерк об основных принципах геометрии» . Большую роль в распространении идей геометрии Лобачевского сыграли профессора Ф.М. Суворов «О характеристике систем трех измерений» (1871) была посвящена трехмерным римановым пространствам – обобщению трехмерного пространства Лобачевского, и особенно А.В Васильев 1853-1929. Именно под руководством Васильева Казанское физико- математическое общество выступило инициатором издания первого полного собрания геометрических сочинений Лобачевского.

^ Интерпретация Клейна

Связь между проективными метриками Кэли и геометрией Лобачевского была установлена немецким геометром Ф.Клейном. Выяснив, что группа движений пространства Лобачевского, а также группы движений евклидова пространства и других проективных метрик являются подгруппами группы проективных преобразований пространства, Клейн пришел к общей идее о роли групп преобразований в геометрии. Клейн сыграл важную роль в усвоении математиками идей неевклидовой геометрии .

В своих «Лекциях о развитии математики в 19 столетии» Клейн описывает открытие своей интерпретации, а после этого, зимой 1869-1870 гг. , впервые услышал о геометрии Лобачевского . В результате Клейн в 1871 г. опубликовал статью «О так называемой неевклидовой геометрии», где показал, что в случае, когда «абсолют» Кэли – действительная коника, часть проективной плоскости, находящаяся внутри этой коники, изометрична плоскости Лобачевского. К этому времени появилась теория Штаудта, с помощью которой проективной геометрии можно было дать обоснование, независимое от евклидовой.

^ Эллиптическая геометрия.

Эта геометрия была определена в «Шестом мемуаре о формах» Кэли (1859). Трехмерная эллиптическая геометрия была определена Клейном в статье «О так называемой неевклидовой геометрии», он же предложил термин «эллиптическая геометрия» наряду с иногда применяемым термином «гиперболическая геометрия».

Важнейшие факты геометрии эллиптического пространства были открыты У.К. Клиффордом (1845-1879) . Он прежде всего определил полюсы и полярные плоскости относительно абсолюта, а также прямые, взаимно полярные относительно абсолюта, отметив, что две точки, полярно сопряженные относительно абсолюта, «отстоят друг от друга на квадрант». Для каждых двух прямых имеются два общих перпендикуляра , на которых осуществляются наименьшее и наибольшее расстояния между этими прямыми. Он показывает что две данные прямые и их поляры являются прямолинейными образующими одной квадрики, и называет их параллельными.

«Параллели» Клиффорда в настоящее время называются паратактичными, в отличии от параллелей евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского, пересекающихся в точке бесконечно удаленной плоскости, паратактичные прямые – скрещивающиеся прямые . Поверхность, построенную Клиффордом, можно определить как геометрическое место точек, равноотстоящих от прямой и от ее поляры, эта поверхность – линейчатая квадрика .


Основная литература:

  1. Математическая энциклопедия. Книги 1-5. - М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.

  2. Рыбников К.А. История математики. Уч.пособие для судентов математических специальностей университетов и пед.институтов. 2-е изд. -М.: Изд-во МГУ, 1974.

  3. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – Москва: Наука, 1969.

  4. Юшкевич А.П. История математики в средние века. - М.: Наука, 1961.

  5. История математики с древнейших времен до начала ХІХ столетия. В 3-х томах. Под.ред А.П.Юшкевича.-М.: Наука, 1970-1972.

  6. Нейгебауэр О. Точные науки в древности – М: Наука, 1968.


Дополнительная литература:

  1. Хрестоматия по истории математики. Под.ред. А.П.Юшкевича. – М.: Просвещение, 1976, 1977.

  2. Глейзер Г.И. История математики в средней школе в 3-х кн. .-М.: Просвещение, 1981-1983.

  3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника». - М.: Просвещение, 2002.

  4. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – Москва: Наука, 1969.




Похожие:

Лекция 12 Тема: Формирование современной алгебры. Создание неевклидовой геометрии iconЛекция №2 Основы векторной алгебры и аналитической геометрии на плоскости Часть Основы векторной алгебры
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними
Лекция 12 Тема: Формирование современной алгебры. Создание неевклидовой геометрии iconУрок по геометрии в 7 классе на тему «Медиана, биссектриса и высота треугольника»
Формирование устойчивого познавательного интереса к изучению геометрии. Воспитание отношений взаимопомощи и сотрудничества между...
Лекция 12 Тема: Формирование современной алгебры. Создание неевклидовой геометрии iconКонспект урока по геометрии в 9 классе Тема : Преобразование подобия (Погорелов А. В. Геометрия 7-11, п. 100)
Цели урока: Формирование понятий преобразования подобия, гомотетии, подобных фигур; формирование интереса к математике; развитие...
Лекция 12 Тема: Формирование современной алгебры. Создание неевклидовой геометрии iconУрок алгебры для 7-го класса по теме: "Возведение в степень произведения и степени"
Создание условий для усвоения учащимися свойств степени, включение их в процесс поиска формулировок и доказательств, формирование...
Лекция 12 Тема: Формирование современной алгебры. Создание неевклидовой геометрии iconЛекция Тема 8
Глобальная макроэкономическая политика и глобализация современной экономической жизни
Лекция 12 Тема: Формирование современной алгебры. Создание неевклидовой геометрии iconУрок окружающего мира тема: Млекопитающие
Дидактическая цель: формирование новых умений и знаний о млекопитающих, создание условий для осознания и осмысления блока новой учебной...
Лекция 12 Тема: Формирование современной алгебры. Создание неевклидовой геометрии iconТема : «Операции Центрального Банка на открытом рынке»
Формирование современной модели Центрального Банка России связано с конкретным определением функций центральных банков в экономике...
Лекция 12 Тема: Формирование современной алгебры. Создание неевклидовой геометрии iconУрок геометрии в 7 классе. Тема: «Решение задач на применение первого признака равенства треугольников» Цели урока: Образовательные
Запись даты в тетрадях, поверка готовности к уроку геометрии (наличие тетрадей, черновиков, карандашей, треугольников)
Лекция 12 Тема: Формирование современной алгебры. Создание неевклидовой геометрии icon1 лекция. Принципы и методы современной лучевой диагностики (рентгенодиагностика, радионуклидная диагностика)
Лекция. Принципы и методы современной лучевой диагностики (ультразвуковая, мрт, термография)
Лекция 12 Тема: Формирование современной алгебры. Создание неевклидовой геометрии iconТема: Создание здоровьесберегающего пространства в школе. Цели
Создание безопасных условий жизнедеятельности обучающихся и охрану труда работников
Разместите ссылку на наш сайт:
Уроки, сочинения


База данных защищена авторским правом ©izlov.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
связаться с нами