Тематический план курса icon

Тематический план курса



НазваниеТематический план курса
Яицкая В. А
Дата17.10.2016
Размер
ТипТематический план

Волгоградский государственный институт повышения

квалификации и переподготовки работников образования

Выполнила:

учитель математики высшей

категории МОУ «Среднеахтубинская

средняя общеобразовательная школа №1»

Яицкая В. А.


Волгоград 2005

Тематический план курса

I. Целые рациональные уравнения.

2

1.1. Лекция «Целые рациональные уравнения».

1

1.2. Стартовая контрольная работа.

1

II. Решение целых рациональных уравнений методом разложения на множители.

3

2.1. Разложение на множители способом группировки и с помощью формул сокращенного умножения.

1

2.2. Разложение на множители методом неопределенных коэффициентов.

1

2.3. Разложение на множители с использованием теоремы Безу и схемы Горнера.

1

III. Решение целых рациональных уравнений методом введения новой переменной.

4

3.1. Сведение уравнения к квадратному с помощью удачной подстановки.

1

3.2. Решение возвратных и обобщенных возвратных уравнений.

2

3.3. Решение однородных уравнений.

1

IV. Решение дробных рациональных уравнений.

2

Итоговая контрольная работа.

2

Заключительное занятие.

1


Способности развиваются тем успешнее,

чем чаще в своей деятельности человек

добирается до потолка своих возможностей

и постепенно поднимает этот «потолок»

все выше и выше.

Б. Н. Никитин.

Пояснительная записка

Курс для предпрофильной подготовки «Решение уравнений высоких степеней» предназначен для обучения решению уравнений, не входящих в обязательную программу изучения алгебры. Данная программа курса по выбору своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся 8-9 классов, которым интересна математика. Предлагаемый курс освещает намеченные, но не проработанные в общем курсе школьной математики вопросы. Выбрав его, учащиеся пройдут путь от простейших линейных уравнений до уравнений высоких степеней, встречающихся в тестах ЕГЭ и на вступительных экзаменах в ВУЗы. Стоит отметить, что навыки в решении таких уравнений совершенно необходимы всякому ученику, желающему хорошо подготовиться и успешно выступить на математических конкурсах и олимпиадах. Материал курса поможет ученику найти свое призвание в профессиональной деятельности, требующей знания точных наук.

Этот курс является развитием системы приобретенных программных знаний, углубляет и расширяет курс математики основной школы. Запланированный данной программой объем знаний необходим для овладения учащимися методами решения некоторых видов тригонометрических, показательных, логарифмических и других уравнений в старшей школе.

^ Цели курса. Учащийся умеет:

- применять известные способы для разложения на множители многочленов высоких степеней;

- использовать полученные знания для решения уравнений высоких степеней;

- осуществлять поиск рационального способа разложения на множители или введения новой переменной для понижения степени уравнения с помощью удачной подстановки;

- использовать специальную дополнительную литературу при выполнении различных творческих заданий.

^ Задачи курса.

Познакомить учащихся с различными способами разложения на множители многочленов высоких степеней, таких как группировки, с помощью формул сокращенного умножения, метода неопределенных коэффициентов, теоремы Безу и ее следствий.

Изучить с учащимися способы решения возвратных и однородных уравнений различных степеней с помощью специальной подстановки.

Научит учащихся решать дробные рациональные уравнения, используя метод разложения на множители и различные виды подстановок.

Познакомить учащихся со специальной научной литературой о жизни великих ученых и по истории математики.

Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует формированию у учащихся устойчивого интереса к математике, выявлению и развитию математических способностей, овладению конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической и учебной деятельности. А также способствует интеллектуальному развитию, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности, подготовке к сознательному усвоению систематического курса алгебры и начел анализа. Способствует формированию представлений о математике, как части общечеловеческой культуры и пониманию значимости математики для общественного прогресса. А, кроме того, изучение математики способствует формированию таких качеств личности, как настойчивость, пунктуальность, аккуратность, дисциплинированность, усидчивость и др.

Данный курс обеспечен дидактическим материалом.

Для подтверждения своей успешности учащиеся могут участвовать в ежегодной олимпиаде по математике и конкурсах по решению задач, которые проводятся в нашей школе традиционно. Также вести исследовательскую и самостоятельную работу, по итогам которой оформлять рефераты и выступать с ними на математической конференции старшеклассников, которая проводится в месячник математики.

Основными формами организации занятий являются традиционные формы: лекция и семинар. Однако предусмотрены и такие, как дискуссия, выступления с докладами (в частности, с отчетными докладами по результатам написания рефератов или выполнения индивидуального задания) или с содокладами, дополняющими лекционные выступления учителя. Возможны и разные формы индивидуальной или групповой деятельности учащихся, как «Допишем учебник», отчетные доклады по результатам «поисковой» работы на страницах книг и журналов, и сайтов в Интернете. Тематика занятий курса позволяет выделить темы для индивидуальной и коллективной исследовательской работы учащихся.

Курс рассчитан на 14 часов и построен таким образом, что его можно проводить для 8-классников после изучения темы «Квадратные уравнения» и в любое время для 9-классников. После первого обзорного занятия предусмотрена стартовая контрольная работа на два уровня сложности. Цель которой проверить умения и навыки в решении линейных и квадратных уравнений и установить готовность учащихся к изучению материала курса. Данная работа носит диагностический характер.

Чтобы оценить динамику усвоения учениками теоретического материала и поставить учащегося перед необходимостью регулярно заниматься, психологически очень важно предоставить подростку достаточно объективную информацию об уровне его знаний и умений, а значит, и об ожидающей его оценке. Кроме того, учителю это поможет вносить определенные коррективы в учебный процесс по мере необходимости. Поэтому каждое занятие включает подборку задач для самостоятельного решения, а каждая глава заканчивается списком тем докладов и рефератов. По окончании изучения курса предусмотрена итоговая контрольная работа. Учащиеся имеют право решать индивидуально или разбиваться на группы. Сама контрольная работа имеет форму защиты собственных решений и проводится в виде дискуссии за круглым столом.

Для аттестации учеников предлагаю использовать рейтинговую систему.

Начиная с первого дня учащийся должен знать что за каждое занятие он может заработать от 0 до 3 баллов, стартовая контрольная работа может быть оценена в 20 баллов за первый вариант и до 30 баллов за второй. Также для промежуточной аттестации учащихся следует рекомендовать им написать рефераты на предложенные учителем темы (список тем может быть сообщен заранее, чтобы ученики могли воспользоваться правом выбора темы или даже сумели предложить свои собственные «свободные» темы; ряд тем приводится в конце каждой главы).

Работа над рефератом может быть сугубо индивидуальной, но не исключаются темы, предназначенные для выполнения небольшой группой учеников. По совету учителя учащийся для работы над рефератом, возможно, должны будут обратиться к различным источникам (журналы «Квант» и «Математика в школе», различные сборники конкурсных задач, монографическая литература и сайты в Интернете). По результатам работы над рефератом учащимся предлагают выступить с докладом на уроке или принять участие в дискуссии. Все это может быть оценено учителем до 20 баллов. Кроме того, реферат может оказаться дополнением к той или иной теме курса, тогда учащиеся станут участниками такого рода деятельности, как «Допишем учебник». Таким дополнением к учебному курсу может оказаться цикл задач с решениями или еще один прием решения уравнений высоких степеней. Причем оценка выставляется одна за всю работу на уроке. Изучение курса завершается написанием итоговой контрольной работы, которая может быть оценена до 30 баллов. Оценивается не только правильность решения, но и рациональность, оригинальность, разнообразие предложенных методов решения каждого уравнения.

Наибольшее количество баллов, которое может набрать учащийся за время освоения курса – 100 баллов.

^ В результате изучения данного курса учащийся должен обладать следующими знаниями и умениями:

- будет уметь раскладывать многочлен высокой степени на множители способами группировки и по формулам сокращенного умножения, или методом неопределенных коэффициентов и с использованием теоремы Безу и схемы Горнера;

- научится различать основные виды уравнений и безошибочно определять способы их решения;

- научится вводить новую переменную для упрощения уравнения или понижения его степени;

- познакомится с научно-популярной литературой и научится вести самостоятельный поиск и отбор информации по теме курса, исторических сведений и интересных фактов из жизни великих ученых;

- будет иметь возможность принять участие в рейтинговой программе накопления баллов.


Основное содержание курса.

I. Целые рациональные уравнения и их корни.

Уравнение f(x)=φ(x), где функции f(x) и φ(x) заданы целыми рациональными выражениями, называют целым рациональным уравнением.

Например, 2x+5=3(8–x) и

Целые рациональные уравнения определены на множестве всех действительных чисел.

Выполнив тождественные преобразования рациональных выражений стоящих в левой и правой частях уравнения, получим целое рациональное уравнение p(x)=0. Первой, второй, третьей или более высокой степени, в зависимости от степени многочлена p(x).

Значение переменной при котором получаем верное числовое равенство, называют корнем уравнения.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Целое рациональное уравнение первой степени (или линейное) имеет вид ax +b=0, где a≠0. Оно всегда имеет единственный корень

Например, 1) или 2)

Целое рациональное уравнение второй степени (или квадратное) имеет вид ax2 + bx + c=0, где a≠0. Число его корней зависит от дискриминанта

Если дискриминант , то уравнение имеет два корня

и

Если дискриминант , то уравнение имеет один двукратный корень

Если дискриминант , то уравнение не имеет действительных корней.

Например, 3)

поэтому

и

Ответ: 1; 0,6.

4)

уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

5)

уравнение имеет единственный корень

Ответ:

Кроме того, следует помнить, что коэффициент при и свободный член в квадратном уравнении и тогда имеем неполное квадратное уравнение.

Например, если свободный член равен нулю, то уравнение имеет вид

или

.Получаем два корня и ;

Если коэффициент при равен нулю, то получаем уравнение

Такое уравнение может иметь два корня и , если один корень если или не имеет корней совсем, если

Таким образом, квадратное уравнение не может иметь более двух корней.

Целое рациональное уравнение третьей степени имеет вид где и оно не может иметь более трех корней.

Рассуждая аналогичным образом, приходим к выводу, что целое рациональное уравнение -ой степени имеет вид где и оно может иметь не более корней. При получаем рациональное уравнение четвертой степени, при - уравнение пятой степени и т.д.

Для уравнений третьей и четвертой степени существуют формулы для вычисления корней, как и для квадратного. Однако эти формулы столь сложны, что ими практически не пользуются. Для уравнений пятой степени и выше не существует общих формул вычисления корней. Но это не означает, что их нельзя решить. Цель нашего курса научиться решать уравнения, степень которых выше второй, используя известные вам методы.

Решая уравнения, мы выполняем различные тождественные преобразования над выражениями входящими в уравнение. При этом исходное уравнение заменяется другими, имеющими те же корни. Такие уравнения называются равносильными.

Уравнение равносильно уравнению , если каждый корень первого уравнения является корнем второго и, обратно, каждый корень второго уравнения является корнем первого, т.е. их решения совпадают.

Любые уравнения, не имеющие корней, считают равносильными.

Тот факт, что уравнения и равносильны, обозначают так

В процессе решения уравнений важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение:

1) Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному,

2) Если обе части уравнения умножить или разделить на отличное от нуля число, то получится уравнение равносильное данному.

Например, уравнения и равносильны. Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то уравнение два называют следствием первого уравнения. Этот факт записывают так: В том случае, когда первое уравнение есть также следствие второго, эти уравнения равносильны.

Два уравнения равносильны в том и только в том случае, когда, каждое из них является следствием другого.

Например, уравнения и равносильны, т.к. каждое уравнение является следствием другого.

Решить уравнения:

Пример 1)


и

Ответ:

Пример 2) ,


и

Ответ:

Пример 3)


и

Ответ:

Пример 4)


и

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения:

1. Сколько корней имеет данное уравнение? Ответ объясните.

а)

б)

2. Решите уравнение:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

3. Найдите все такие значения , при которых выражения и принимают равные значения.

Стартовая контрольная работа (можно предложить два уровня сложности) рассчитана на один урок:

Вариант II.

1. Решите уравнение:

а)

б)

в)

г)

д)

е) x2+2(1+√8)x+8√2=0.

2. При каких значениях уравнение имеет один корень?

3. При каких значениях значения многочленов и равны?

4. При каком значении один из корней уравнения равен 42?

5. При каких значениях m ровно один из корней уравнения 3x2+x+2m-3=0 равен нулю?

Вариант I.

1. Решите уравнение:

а)

б) 36-x2=0,

в)

г)

д) x2-6x+8=0,

е)(x2-x)/3=(2x-4)/5

2. Какие из чисел 0; 1/3; -1; -0,5; 2 являются корнями уравнения x2-x-2=0?

3. Сколько корней имеет уравнение а) x2-2x+1=0,

б) x2+3x+3=0?

4. Решите уравнение, используя формулу корней с четным вторым коэффициентом 5x2+38x-16=0.

Темы рефератов:

1. Алгебраические новации Виста и его последователей.

2. Кубические уравнения у Виста.

3. Графическое исследование кубического уравнения.

4. Судьба и королевская карьера Виста.

5. Решение систем Виста.


II. Методы решения целых рациональных уравнений.

Процесс решения уравнений степень которых выше второй заключается в сведении данных уравнений к линейным или квадратным. Для этого применяют два основных метода: разложение на множители и введение новой переменной.

2.1. Метод разложения на множители способом группировки и по формулам сокращенного умножения.

Рассмотрим уравнение

Известно, что произведение двух чисел равняется нулю, если хотя бы одно из них равно нулю. Поэтому сначала надо решить уравнения и а затем объединить их решения. Решением первого уравнения являются числа 1 и 2, решением второго – число 6. Объединив эти решения, получим решение уравнения: , ,

В случае, когда ищут значения переменной, удовлетворяющие хотя бы одному из данных уравнений, говорят, что задана совокупность уравнений. Для обозначения совокупности уравнений иногда используется квадратная скобка, т.е. в нашем примере имеем, что уравнение

Решением совокупности уравнений с одной переменной является объединение решений каждого из уравнений, входящих в совокупность. В общем случае справедлива теорема:

Уравнение , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений и

Пример 1.

Решим уравнение

Разложим многочлен, стоящий в левой части, на множители способом группировки:

Тогда исходное уравнение равносильно уравнению которое равносильно совокупности уравнений и

Решая каждое, находим: , и , ,

Ответ:

Пример 2.

Решим уравнение Для этого представим , тогда

Получим, что исходное уравнение равносильно уравнению , которое равносильно

Решив каждое из уравнений совокупности, получим , ,

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение

Разложим на множители левую часть уравнения по формуле разности квадратов. Для этого представим тогда

Получили, что

или

Ответ: и

Пример 4. Решить уравнение

Разложим левую часть уравнения на множители, заменив , тогда .

Получим, что

Ответ: .

Пример 5. Решить уравнение

Заменим тогда

Получим уравнение которое равносильно

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения:

Решить уравнение: 1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

2.2. Метод разложения на множители с использованием теоремы Безу.

Один из способов решения уравнений высоких степеней является способ разложения на множители, основанный на применении теоремы Безу:

^ Остаток от деления многочлена на двучлен равен (т.е. значению при ).

Если число является корнем многочлена , имеющего степень , то этот многочлен можно представить в виде , где - частное от деления на , многочлен степени

Т.о., если известен хотя бы один корень уравнения степени , то с помощью теоремы Безу можно свести задачу к решению уравнения степени т.е. понизить степень уравнения.

Возникает естественный вопрос: как найти хотя бы один корень уравнения? В случае уравнения с целыми коэффициентами можно отыскать рациональные, в частности, целые корни, если, конечно, они существуют.

Необходимое условие для того, чтобы несократимая дробь была корнем уравнения , где с целыми коэффициентами, формулируется следующим образом: Для того чтобы несократимая дробь была корнем уравнения, необходимо, чтобы числитель этой дроби был делителем свободного члена , а знаменатель - делителем старшего коэффициента .

Т.о., чтобы найти рациональные корни уравнения , надо:1) найти все целые делители свободного члена (как положительные, так и отрицательные);

2) найти все натуральные делители коэффициента при старшем члене;

3) составить все дроби с найденными значениями числителя и знаменателя;

4) из найденных дробей отобрать те, которые удовлетворяют заданному уравнению.

Пример 1. Найдем корни уравнения .

Свободный член 6 имеет целые делители . Старший коэффициент 2 имеет натуральные делители 1 и 2. Значит надо испытать следующие числа: . Подставляя эти числа в уравнение, отбираем следующие корни: , . Отсюда следует, что многочлен . Чтобы найти остальные корни, надо решить уравнение . Его корнями являются .

Ответ: , , .

Пример 2. Решить уравнение .

Свободный член 12 имеет целые делители , а старший коэффициент 6 имеет натуральные делители . Т.о., рациональные корни уравнения надо искать среди чисел . Во многих случаях вычисления по схеме Горнера удобнее, чем непосредственная подстановка.

Верхняя строка таблицы содержит коэффициенты уравнения, а первое число









-7

-26



















-8




-1







-20

-6






















-2







-21




-20










-10















-8







второй строки таблицы это одно их чисел , второе число является старшим коэффициентом уравнения. Затем выполняются операции:

Результат записывается под числом 19. . Результат записывается под числом (-7).

. Результат записывается под числом (-26). . Результат записывается под числом 12. Последним числом строки таблицы должно являться число нуль, что будет означать, что данный многочлен, стоящий в левой чисти уравнения, делится на это число без остатка (остаток равен 0).

Мы нашли, что числа и являются корнями нашего уравнения и тогда числа, полученные в последней строке являются коэффициентами квадратного трехчлена, т.к., мы нашли два корня уравнения, а значит, понизим четвертую степень уравнения на 2.

Т.о., мы получили, что , а значит (x+3)(x-. Остается решить квадратное уравнение

Ответ:

Из теоремы Безу вытекают два очевидных следствия:

  1. Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

  2. Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни уравнения, если они существуют – целые.

Пример 3. Решить уравнение .

Т.к. это уравнение имеет целые коэффициенты и является приведенным, то его рациональные корни должны быть целыми и являться делителями свободного члена 3. Значит надо проверить числа










-24


















-20

-3




Следовательно, является корнем уравнения, и теперь мы имеем уравнение третьей степени

.










-20

-3




-1







-23


















Значит, число -1 не является корнем, а число 3 является корнем кубического уравнения, а нам остается только решить квадратное уравнение .

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение .

Свободный член уравнения равен (-72), поэтому, если уравнение имеет рациональные корни, то их нужно искать среди чисел .







-2

-13







-72










-1

-14







-24










-13



















-4

-12







-3







-4










По схеме Горнера мы нашли


, и остается решить квадратное уравнение

.

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения.

Найти все действительные корни уравнения:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

2.3. Разложим на множители методом неопределенных коэффициентов.

При решении уравнений высоких степеней часто приходится раскладывать многочлен на множители. И если не помогают предварительные преобразования: добавить или вычесть одночлен, или разбить его на два слагаемых, представив тем самым многочлен в виде разности квадратов или в виде разности сумм кубов, то используется метод неопределенных коэффициентов.

Пример 1. Разложить на множители многочлен

Допустим, что данный многочлен второй степени можно представить в виде произведения , где коэффициенты - неизвестные нам целые числа. Тогда . Это будет Верн, если

Мы получили систему трех уравнений с четырьмя неизвестными. Однако нам не обязательно находить все решения этой системы, т.к., так как отыскав одно из них, мы найдем коэффициенты многочлена и, следовательно, решим поставленную задачу – разложим данный многочлен на множители. Начнем с наиболее простого уравнения т.к. и - целые числа, то возможны лишь два варианта: или .

Если , и . Подбором находим, что и или и , в данном случае это не существенно, т.к. или , что одно и тоже.

Второй случай, когда , можно не рассматривать, т.к. разложение уже выполнено. Замечу, что в случае мы получили бы .

Пример 2. Решить уравнение способом разложения на множители методом неопределенных коэффициентов.

Если многочлен, стоящий в левой части уравнения можно разложить на множители, то его можно представить хотя бы в виде произведения двух многочленов первой и второй степени.

Учитывая, что коэффициент при равен 1, то

Т.о. .

Для того чтобы равенство было тождеством, необходимо считать

Начнем с наиболее простого уравнения Его решением (в целых числах) являются четыре пары чисел: и (-1;-2).

Если и , то и .

Получили, что эти числа не удовлетворяют уравнению .

Если и , то и тогда , также получили неверное равенство.

Если и , то и поэтому .

Т.о., мы нашли значения и следовательно, . Возвращаясь к решению уравнения, получим ,

или

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение .

Разложим левую часть уравнения на множители используя метод неопределенных коэффициентов. Т.к., старший коэффициент равен 1, то

Т.о.,

Учитывая равенство многочленов, получим систему:

или

При имеем , тогда

Значит И тогда

или

Ответ: 2; -1.

Пример 4. Решить уравнение Решим уравнение способом разложения множителей методом неопределенных коэффициентов. Попытаемся представить левую часть уравнения в виде произведения двух квадратных множителей с целыми коэффициентами:

Получаем систему из четырех уравнений

Из последнего уравнения или или , или

Если тогда целых решений такая система не имеет.

Если тогда Получаем, что либо либо Третьему уравнению удовлетворяет пара т.к. Т.о., В итоге т.е.,

или

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение Разложим левую часть уравнения на два квадратных множителя

Получаем систему уравнений

Поскольку , тогда предположим, что и , тогда

. Если то

то

Т.о.,

Значит, Т.е.,

или

нет корней. нет корней.

Ответ: уравнение не имеет корней.

Задачи для самостоятельного решения:

Решить уравнение используя метод неопределенных коэффициентов:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Рефераты:

Проектная работа (групповая) “Великое искусство и жизнь Джероламо Кардано”.

  1. По пути к формуле Кардано.

  2. Вокруг формулы Кардано.

  3. Тарталья и Феррари.

  4. Кардано – человек эпохи.

  5. Как пользоваться формулой Кардано.

  6. “Великое искусство” – шаг Кардано в алгебру.


III. Метод введения новой переменной.

Другим методом решения уравнений высоких степеней является введение новой переменной.

3.1. Сведение уравнения к квадратному с помощью введения новой переменной.

Многие уравнения высоких степеней приводятся к квадратным с помощью данной подстановки. В общем случае метод введения новой переменной заключается в том, что для решения уравнения вводят новую переменную (подстановку) и выражают через , получая новое уравнение , степень которого ниже. Решая затем уравнение , находят его корни: После этого получают совокупность уравнений из которых и находят корни исходного уравнения.

Пример 1. Решим уравнение .

Обозначим , тогда получим квадратное уравнение

Возвращаясь к подстановке, получаем, что и .

Первое уравнение равносильно совокупности уравнений

решением которой являются числа .

Второе уравнение равносильно решением этой совокупности уравнений являются числа и .Ответ:

Пример 2. Решить уравнение Раскроем скобки, группируя первый множитель с последним, а второй с третьим. Тогда данное уравнение примет вид: .

Полагая , получим уравнение второй степени , или в стандартном виде

Находим корни этого уравнения и решаем уравнения

и

или

корней нет.Ответ: 0;-5.

Пример 3. Решить уравнение .

Т.к. , то это уравнение можно записать следующим образом: . Сделаем подстановку . Получим квадратное уравнение Для нахождения осталось решить уравнения и . Первое имеет два корня , а второе уравнение не имеет действительных корней.Ответ: 2;-2.


Уравнения вида где , называются биквадратными. Для решения биквадратных уравнений надо сделать подстановку , найти корни и квадратного уравнения и решить уравнения и . Они имеют решения лишь в случае, когда и .

Пример 4. Решить уравнение .

Т.к. , то обозначив , получим квадратное уравнение . Решив уравнения и , найдем значения : Ответ:

Пример 5. Решить уравнение .

Заметим, что

Если раскрыть скобки и привести подобные, то получим уравнение четвертой степени, а с помощью подстановки , решая е го, найдем и . Чтобы найти нужно решить уравнения и

Ответ:

Пример 6. Решить уравнение Если раскрыть скобки, то получим полное уравнение четвертой степени, решить которое нам скорее всего не удастся. Однако удобно ввести новую переменную , т.е. , тогда . Используя формулу , мы получим биквадратное уравнение, поскольку благодаря симметризации членов с нечетными степенями уничтожатся:


Решив это биквадратное уравнение, найдем и . Тогда

и Ответ:

Пример 7. Решить уравнение Обозначим , тогда . Получим уравнение . Используя треугольник Паскаля раскроем скобки:

Если это уравнение имеет рациональные корни, то их нужно искать среди чисел








-8




-128













-6




-56










-4












Т.о., Остается решить квадратное уравнение

уравнение не имеет корней.

Чтобы найти решим уравнение

Ответ:


Задачи для самостоятельного решения.

Решить уравнения, сделав подстановку:

3.2. Решение возвратных уравнений.

Уравнение вида называют возвратным уравнением, если его коэффициенты, одинаково удаленные от начала и от конца, равны между собой. Например:

Рассмотрим решение возвратных уравнений третьей и четвертой степени.

Возвратное уравнение третьей степени имеет вид. Способом группировки раскладываем на множители левую часть уравнения:

Отсюда видно, что одним из корней уравнения является . Два других корня получаются путем решения квадратного уравнения.

Пример 1. Решить уравнение

Получили

или Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Получили

или Ответ:

  1. ^

    Теперь рассмотрим возвратное уравнение четвертой степени


ax4+bx3+cx2+bx+a=o.

Так как a≠0, то x=0 не является корнем этого уравнения. Поэтому, если разделить обе части уравнения на x2, то получим равносильное уравнение:

a(x2+2)+b(x+)+c=0.Введем новую переменную y, положив y=x+.Так как y2=(x+)2=x2+2+2, то x2+2=y2-2.

Следовательно, уравнение четвертой степени сводится к квадратному относительно y: a(y2-2)+bx+c=0. Решив уравнение, найдем его корни y1 и y2. Чтобы найти x, необходимо решить уравнение x+=y1 и x+=y2, после чего объединить их корни.

Пример 3. Решить уравнение 6x4-35x3+62x2-35x+6=0.

Так как мы имеем возвратное уравнение четвертой степени, то разделим левую и правую его части на x2 почленно, получим

6x2-35x+62-+2=0, 6·(x2+2)-35·(x+)+62=0. Введем новую переменную, обозначив x+=y, тогда

y2=(x+)2=x2+2+2, x2+2=y2-2. Сделав замену, получим уравнение

6(y2-2)-35y+62=0,

6y2-35y+50=0,

D=1225-1200=25, D>0,

y1= и y2=. Чтобы найти корни исходного уравнения, надо решить уравнения x+= и x+=.

После преобразований получим два квадратных уравнения

2x2-5x+2=0 и 3x2-10x+3=0.

D=25-16=9, D>0, D=100-36=64, D>0,

x1=, x1=,

x2=2. x2=3. Ответ: 2; ; 3; .

Пример 4. Решить уравнение x4-5x3+4x2+5x+1=0.

Нам дано возвратное уравнение четвертой степени, поделим почленно на x2, получим x2-5x+4++2=0,

(x2-2)-5·(x-)+4=0.

Обозначим y= x-, тогда y2=(x-)2= x2+2-2, поэтому x2+2=y2+2.

Введя в данное уравнение подстановку, получим квадратное уравнение

y2+2-5y+4=0,

y2-5y+6=0,

D=25-24=1, D>0,

y1=2, y2=3.

Осталось решить два уравнения

x-=2 и x-=3.

x2-2x-1=0 и x2-3x-1=0,

D=4+4=8, D>0, D=9+8=17, D>0,

x1=1-, x3=1,5+0,5,

x2=1+. x4=1,5-0,5.

Ответ: x1=1-; x2=1+; x3=1,5+0,5; x4=1,5-0,5.

Пример 5. Решить уравнение.

2x5+3x4-5x3-5x2+3x+2=0.

Данное уравнение является возвратным уравнением пятой степени, а значит, как и уравнение третьей степени имеет корень x=-1.
  1. ^

    Понизим степень уравнения, используя схему Горнера:








  1. -5

  1. -5







-1







-6










Тогда числа из второй строки являются коэффициентами уравнения четвертой степени

2x4+x3-6x2+x+2=0, а оно является возвратным, поэтому решаем его по известному алгоритму для возвратных уравнений четвертой степени:

Поделим почленно на x2 и сгруппируем:

2x2+x-6++2=0,

2(x2+2)+(x+)-6=0.

Пусть y=x+, тогда x2+2=y2-2.

Введем новую перемену в уравнение 2(y2-2)+y-6=0,

2y2+y-10=0,

D=1+80=81, D>0,

y1=- и y2=2.

Возвращаясь к подстановке, получим два уравнения

x+=- и x+=2,

2x2+5x+2=0, x2-2x+1=0,

D=25-16=9, D>0, (x-1)2=0,

x1=-2 и x2=- x3=1. Ответ: x1=-2, x2=-, x3=1, x4=-1.

Аналогичным способом можно решить уравнение вида ax4+bx3+cx2+kbx+k2a=0, где k≠0 число.

Такие уравнения называют обобщенными возвратными уравнениями четвертой степени. Упрощается такое уравнение с помощью подстановки y=x+.

Пример 6. Решить уравнение 3x4-5x3-30x2-10x+12=0. Это уравнение является обобщенным возвратным, так как оно имеет вид

3x4-5x3-30x2+2·(-5x)+22·3=0, где k=2. Разделим обе части уравнения на x2. Это можно сделать, не нарушая равносильности уравнения, так как x=0 не является корнем уравнения. Получим 3x2-5x-30-+2=0,

3(x2+2)-5(x+)-30=0. Введем новую переменную, обозначив за y= x+.

Тогда y2=( x+)2= x2+2+4, x2+2=y2-4.

Проведя замену переменной, получим уравнение

3(y2-4)-5y-30=0,

3y2-5y-42=0,

D=25+504=529, D>0,

y1=-3 и y2=. В результате получили совокупность двух уравнений

x+=-3

x+=. Решив эти уравнения, получим

x2+3x+2=0, и 3x2-14x+6=0,

D=9-8=1, D>0, D=196-72=124, D>0,

x1=-2 и x2=-1 x3= и

Ответ: -2, -1, , x4=

Пример 7. Решить уравнение 3x4-2x3-31x2+10x+75=0.

Это уравнение является обобщенным возвратным уравнением четвертой степени с k=5, поэтому, поделив на x2 получим

3x2-2x-31++2=0, 3(x2+2)-2(x-)-31=0.

Обозначим через y= x-, тогда y2= x2+2-10, x2+2=y2+10.

Подставив новую переменную, получим

3(y2+10)-2y-31=0,

3y2-2y-1=0,

D=4+12=16, D>0,

y1=-, y2=1.

Таким образом, осталось решить два уравнения

x-=- и x-=1. Находим, что

3x2+x-15=0,

D=1+120=121, D>0,

x1=-2 и x2=

x2-x-5=0, D=1+20=21, D>0, x3,4=0,50,5

Ответ: x1=-2, x2= x3,4=0,50,5.

Пример 8. Решить уравнение 5x+=2x2+2+4.

Преобразуем уравнение 5(x+)-2(x2+2)-4=0.

Теперь видно, что если обозначить за y= x+, то

y2=(x+)2= x2+2+2x= x2+2+1, поэтому x2+2=y2-1.

Получим 5y-2(y2-1)-4=0,

2y2-5y+2=0,

D=25-16=9, D>0,

y1= и y2=2.

Остается решить совокупность двух уравнений

2x2-x+1=0

D=1-8=-7, D<0, нет корней и

2x2-4x+1=0,

D=16-8=8, D>0,

x1=1-0,5; x2=1+0,5.

Пример 9. Решить уравнение.

2x8-9x7+20x6-33x5+46x4-66x3+80x2-72x+32=0.

Перепишем это уравнение в следующем виде:

2x8-9x7+20x6-33x5+46x4-33·2x3+20·22x2-9·23x+2·24=0.

Отсюда видно, что оно является возвратным. Разделим почленно на x4. Получим следующее уравнение:

2(x4-4)-9(x3+3)+20(x2+2)-33(x+)+46=0.

Пусть y= x+, тогда y2= x2+2+4, x2+2=y2-4;

y3=x3+3+3x2·+3·x·2=x3+3+6x+= x3+3+6(x+),

x3+3=y3-6y;

y4=x4+4x3·+6x2·2+4x·3+4=x4+4+8x2+2+24=

=x4+4+8(x2+2)+24, x4+4=y4-24-8(y2-4)=y4-8y2+8.

Ведем в уравнение новую переменную:

2(y4-8y2+8)-9(y3-6y)+20(y2-4)-33y+46=0,

2y4-16y2+16-9y3+54y+20y2-80-33y+46=0,

2y4-9y3+4y2+21y-18=0.

Согласно теоремы Безу, если это уравнение имеет рациональные корни, то их надо искать среди чисел 1, 2, 3, 6, 9, 18, , , .

Воспользуемся схемой Горнера:







-9







-18










-7

-3













-3

-9







т. о., мы нашли число y1=1, y2=2. Остается решить квадратное уравнение 2y2-3y-9=0, D=9+72=81, y1= и y2=3. Возвращаемся к подстановке и решаем четыре уравнения: x+=1, x+=2, x+=, x+=3. Находим, что первое, второе и четвертое уравнения не имеют корней, а из третьего x1=1, x2=2.

Ответ: x1=1, x2=2.

Задачи для самостоятельного решения:

Решить уравнения:

  1. (x2+2)+7(x-)+10=0,

  2. x2+2+2(x+)=,

  3. x2+2-5(x+)+8=0,

  4. x2+5x+8++2=0,

  5. 2(x2+2)-3(x+)=1,

  6. 6(x2+2)+5(x+)-38=0,

  7. x4+x3-4x2+x+1=0,

  8. 5x4-12x3+12x2-12x+5=0,

  9. x4-7x3+14x2-7x+1=0,

  10. 2x4+x3-11x2+x+2=0,

  11. 6x4+7x3-36x2-7x+6=0,

  12. 78x4-133x3+78x2-133x+78=0,

  13. 10x4-29x3+30x2-29x+10=0,

  14. x4-5x3+10x2-10x+4=0,

  15. x4-x3-10x2+2x+4=0,

  16. x4+x3-16x2+2x+4=0,

  17. x4+2x3-9x2-6x+9=0,

  18. 5x4-12x3+11x2-12x+5=0,

  19. (x2+2)-( x+)-8=0,

  20. (x2+2)-( x+)-12=0,

  21. =10(),

Найти наибольший корень уравнения

  1. x4-8x3+18x2-8x+1=0,

  2. x4-7x3+14x2-7x+1=0.

3.3. Решение однородных уравнений.

Уравнение вида p(x; y)=0 называется однородным уравнением степени x и y, если p(x; y)-однородный многочлен степени n, т.е. степень каждого его члена равна одному и тому же числу n. Например, однородное уравнение третьей степени относительно x и y имеет вид:

a0x3+a1x2y+a2xy2+a3y3=0.

Аналогичный вид имеет однородное уравнение четвертой степени

a0x4+a1x3y+a2x2y2+a3xy3+a4y4=0.

Пример 1. Рассмотрим уравнение (x2-x+1)3+2x4(x2-x+1)-3x6=0.

Если разбить скобки и привести подобные, то получим уравнение пятой степени стандартного вида. Но если ввести новые переменные u=(x2-x+1) и v=x2, то получим уравнение u3+2v2u-3v3=0, являющееся однородным уравнением третьей степени относительно переменных u, v.

Однородное уравнение относительно u и v обладает тем свойством, что если разделить все члены уравнения на наивысшую степень одной из переменных, например v (если v=0 не является корнем уравнения), то оно превратится в уравнение с одной переменной y=.

Например, уравнение a0u3+a1u2v+a2uv2+a3v3=0 после деления на v3 принимает вид: a0()3+a1()2+a2()+a3=0, или при условии что y=, a0y3+a1y2+a2y+a3=0.

Решим уравнение (x2-x+1)3+2x4(x2-x+1)-3x6=0.

Видим, что это уравнение однородное относительно переменных

u=(x2-x+1) и v=x2 третьей степени. Проверив, что x=0 не является корнем данного уравнения, разделим его почленно на v3=x6. Получим уравнение

.

Положив решим уравнение

y-1=0 или y2+y+3=0,

y=1 D=1-12=-11, D<0, нет корней.

Поэтому уравнение имеет единственный корень y=1.

Значит

Пример 2. Решить уравнение (x-1)4+9(x+1)4=10(x2-1)2. Если раскрыть скобки и привести подобные, то получится уравнение четвертой степени. Попробуем решить его способом введения новых переменных. Пусть

u=(x-1)2, v=(x+1)2.

Уравнение примет вид u2+9v2=10uv.

Это уравнение однородное второй степени и после деления на v2 оно примет вид

Если обозначить то получим уравнение его корни y1=1 и y2=9. Осталось решить уравнения: и а это значит и


или и или первое уравнение не имеет корней, а из остальных получаем, что

Ответ: x1=0, x2=-2, x3=-0,5.

Пример 3. Решить уравнение . Это однородное уравнение относительно переменных u=x2+6x+1 и v=x2+1, тогда после замены получим уравнение 2u2+5uv+2v2=0. Так как v=0 не является корнем этого уравнения, то можно почленно поделить на v2, тогда

и обозначив за получим квадратное уравнение

2y2+5y+2=0. Его корнями являются и

Осталось решить совокупность уравнений:

или

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение 2(x2+x+1)2-7(x-1)2=13(x3-1). Это однородное уравнение второй степени относительно переменных u=(x2+x+1) и v=(x-1), так как 2(x2+x+1)2-7(x-1)2-13(x-1)(x2+x+1)=0. Тогда получаем 2u2-7v2-13uv=0. Выполнив почленное деление на v2 и введя обозначение для , получим уравнение 2y2-13y-7=0,

D=169+56=225,

y1=7,

Вернемся к подстановке и решим уравнения и

и , а значит и уравнения x2+x+1=7 и x-1=7 или

x2+x+1=-0,5 и x-1=-0,5.

Получаем

Ответ: -3; 2; 8 и

Пример 5. Решить уравнение (x2-x+1)4-6x2(x2-x+1)2+5x4=0. Это уравнение является однородным относительно функций u=x2-x+1 и v=x. Так как ноль не является корнем уравнения, то разделим на x4 и введем подстановку, получим и получим уравнение t2-6t+5=0,

D=36-20=16, D>0, t1=1 и t2=5. Отсюда получим и

Поэтому или и или Решив эти уравнения, найдем

Ответ: и .

Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнение:

  1. (x+5)4-13x2(x+5)2+36x4=0,

  2. 2(x-1)4-5(x2-3x+2)2+2(x-2)4=0,

  3. (x2+x+4)2+3x(x2+x+4)+2x2=0,

  4. 3(x+2)2+2(x2-2x+4)2=5(x3+8),

  5. (x2+2x)2-(x+2)(2x2-x)-6(2x-1)2=0,

  6. (x2-5x-4)2-3(x3-5x2-4x)+2x2=0,

  7. (x2+3x-2)2-2(x3+3x2-2x)-3x2.

Темы рефератов:

  1. Метод Феррари решения уравнений четвертой степени.

  2. Метод Декарта решения уравнений четвертой степени.

  3. Искусство Бомбелли.


IV. Решение дробных рациональных уравнений.

Рациональным уравнением называют уравнение, у которого левая и правая части являются рациональными выражениями.

Если левая и правая части рационального уравнения являются дробными выражениями, то такое уравнение называется дробно-рациональным уравнением.

Дробно-рациональное уравнение можно представить в виде , где P(x) и Q(x) многочлены. Уравнению удовлетворяют те и только те значения x, при которых P(x)=0 и Q(x)≠0. Поэтому уравнение равносильно системе

Чтобы решить дробно-рациональное уравнение, нужно привести его к виду , затем решить уравнение P(x)=0 и из его корней исключить те, при которых Q(x)=0. При решении дробно-рациональных уравнений мы используем также оба метода: и разложения на множители, и метод введения новой переменной.

Пример 1. Решим уравнение

Имеем


Общий знаменатель (x-3)(x2+3x+2); приведем к нему уравнение

35=4(x2+3x+2)+(x-3)(3x-1),

7x2+2x-24=0, D=169, x1=-2, При x=-2 общий знаменатель

(x-3)(x2+3x+2)=(-2-3)(4-6+2)=0. Значит, число -2 не является корнем исходного уравнения. При выражение (x-3)(x2+3x+2) не равно нулю. Значит число корень уравнения.Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение . Если обозначить

то получим уравнение которое является однородным уравнением второй степени. Так как x=1 не является корнем исходного уравнения, значит v≠0 и поэтому мы можем обе части уравнения разделить на v2, не нарушив при этом равносильности уравнения.

Выполнив деление, получим уравнение Решив его относительно , найдем, что или Так как то имеем совокупность двух уравнений , каждое из которых является дробно-рациональным. Из первого уравнения получаем, что а из второго -

Так как каждое из найденных чисел отлично от -2 и 2, поэтому они являются корнями данного уравнения.

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение . Легко проверить, что число ноль не является корнем уравнения. Разделим числитель и знаменатель дроби, расположенной в левой части уравнения, на x2. Получим уравнение, равносильное данному Обозначив

Отсюда

Имеем совокупность двух уравнений и Решив эти уравнения, найдем все корни исходного уравнения и

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение

Выделим в числителе каждой дроби квадрат двучлена: и исключим из каждой дроби целую часть:

Выполним упрощение и представим уравнение в виде

Отсюда

Так как x1 и x2 отличны от чисел -1; -2; -3; -4, то они являются корнями данного уравнения.

Ответ: 0 и -2,5.

Пример 5. Решить уравнение Сложив попарно дроби: первую и последнюю, вторую и третью, получим:

Числа x1, x2, x3 отличны от чисел 1, 2, 3, 4, поэтому являются корнями исходного уравнения.

Ответ: 2,5;

Пример 6. Решить уравнение . Так как дробь при x=-1 равна 1, то -1 – корень уравнения. Приведем уравнение к целому виду, получим 2x3-5x2-5x+2=0 – возвратное уравнение третьей степени, поэтому

2(x3+1)-5x(x+1)=0,

(x+1)(2x2-2x+2-5x)=0,

(x+1)(2x2-7x+2)=0,

x+1=0 или

x1=-1. Ответ: -1;

Пример 7. Решить уравнение Разложим знаменатели каждой дроби на множители, получим

Сложив попарно дроби первую с последней и вторую с третьей, получим

Отсюда (40x-90)(x+3)(x-3)(x-1)+(12x-90)(x+1)(x-3)(x+3)=0,

(x+3)(x-3)((40x-90)(x-1)+(12x-90)(x+1))=0,

(x+3)(x-3)(40x2-90x-40x+90+12x2-90x+12x-90)=0,

x+3=0, x-3=0 или 52x2-208x=0

x1=-3, x2=3, x3=0, x4=4.

Числа 3 и -3 обращают общий знаменатель в ноль, поэтому они не являются корнями уравнения. При x=0 или x=4 знаменатель не равен нулю, поэтому числа 0 и 4 – корни уравнения.

Ответ: 0; 4.

Пример 8. Решить уравнения

Сложим дроби первую и четвертую, вторую и третью в левой части уравнения:

Введем новую переменную, обозначив t=x2+16x, тогда выполним тождественные преобразования и приведем уравнение к целому 7t2+821t+23980=0,

Возвращаясь к подстановке, нужно решить уравнения и Первое уравнение дает корни x1=-11 и x2= -5, а второе уравнение не имеет корней.

Так как числа -5 и -10 не обращают знаменатели исходного уравнения в ноль, то являются его корнями.

Ответ: -5; -10.

Пример 9. Решить уравнение .

Обозначим т.е.

Введем новую переменную в уравнение:


или

Вернемся к подстановке и решим уравнения: нет корней,

Ответ: и

Пример 10. Решить уравнение (

Преобразуем каждый множитель левой части уравнения в дробь и вынесем общие множители за скобку:


нет корней.

Ответ:


Задачи для самостоятельного решения.


V.Итоговая контрольная работа.

(рассчитана на 2 часа и проводится в форме дискуссии за круглым столом)

1. Найдите целые корни уравнения:

2. Решите уравнение, разложив на множители методом неопределенных коэффициентов:

3) Найдите действительные корни уравнения. При этом используйте различные методы решения. Наивысшее количество баллов получит тот, кто предложит больше возможных способов решения каждого из предложенных уравнений.

a)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)


Учебно-методическое обеспечение курса

Литература для учащихся:

Башмаков И. Г., Диофант и диофантовы уравнения, М: Наука, 1972.

Башмаков И. Г., Диофант и Ферма, историко-математические исследования, выпуск №17, М: Наука, 1966.

Белл Э. Т., Творцы математики, М: Просвещение, 1979.

Бурбаки Н., Очерки по истории математики, перевод Башмаковой И. Г., под редакцией Рыбникова К. А., М, 1963.

Веселовский И. Н., Христиан Гюйгенс, М, 1959.

Вилейтнер Г., Хрестоматия по истории математики, перевод Юшкевича П. С. и Юшкевича А. П.,М-Л, 1935.

Виленкин Н. Я., Алгебра для 8 класса, М: Просвещение, 1995.

Виленкин Н. Я., Алгебра для 9 класса, М: Просвещение, 1996.

Виленкин Н. Я., Алгебра и математический анализ для 10 класса, М: Просвещение, 1992.

Ван-дер-Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, перевод Веселовского И. Н., Физматгиз, 1959.

Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф., За страницами учебника математики 10-11, М: Просвещение, 1996.

Галицкий М. Г., Гольдман А. М., Звавич Л. И., Сборник задач по алгебре для 8-9 классов, М: Просвещение, 1995.

Гиндикин С. Г., Рассказы о физиках и математиках, М: Наука, 1982.

Дорофеев Г. В., Муравин Г. К., Седова Е. А., Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике и алгебре и началам анализа за курс средней школы, 11 класс, М: Дрофа, 2000.

Зимина М. Н., «Эта разноликая теорема Виета», журнал «Математика в школе» №2-3, 1992.

Иванов К. Б., Сборник задач для старшеклассников, Волгоград, 2000.

Ивлев Б. М., Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: учебное пособие для 10-11 классов средней школы, М: Просвещение, 1990.

Калужнин Л. А., Сущанский В. И., Преобразования и перестановки, М: Наука, 1979.

Кордемский Б. А., Великие жизни в математике, Киев «Наукова думка», 1960.

Кузнецова Л. В., Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы, 9 класс, М: Дрофа, 2002.

Кышпан Ф., История числа π, М: Наука, 1971.

Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Алгебра: дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса, М: Просвещение, 1998.

Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Алгебра: дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса, М: Просвещение, 2000.

Минковский В. Л., За страницами учебника математики, М: Просвещение, 1960.

Перельман Я. И., Занимательная алгебра, М: Наука, 1978.

Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы, под редакцией Сканави М. И., Ташкент, 1992.

Хрестоматия по истории математики, под редакцией Юшкевича А. П., М: Просвещение, 1976.

Цейтен Г. Г., История математики в древности и в средние века, перевод Юшкевича П., ГОНТИ, 1938.

Чистякова В. Д., Рассказы о математике, Киев «Наукова думка», 1960.

Шепелева З. В., Шепелев М. Н., «Франсуа Виет», журнал «Математика в школе», №4-5, 1992.

Яковлев А. Я., Леонард Эйлер, М: Просвещение, 1983.

Литература для учителя:

Башмаков М. И., Уравнения и неравенства, М: Наука, 1976.

Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд, Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. Методические рекомендации и дидактические материалы. Пособие для учителя, М: Просвещение, 1990.

Звавич Л. И., Аверьянов Д. И., Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе. Пособие для учителя, М: Просвещение, 1996.

Звавич Л. И., Шляпочник Л. Я., Чинкина М. В., Алгебра и начала анализа 8-11. Дидактические материалы, М: Дрофа, 1999.

Кушнир И., Шедевры школьной математики, Киев: Астарта, 1995.

Леонтьева М. П., Самостоятельные работы на уроках алгебры, М: Просвещение, 1978.




Похожие:

Тематический план курса iconТематический план лекций и семинаров по физиологии для студентов второго курса 2010/2011 учебного года
Календарно-тематический план лекций и семинаров по физиологии для студентов второго курса 2010/2011 учебного года
Тематический план курса iconПрограмма курса тематический план
Трехчленная эстетическая коммуникация нового времени: автор текст слушатели (читатели)
Тематический план курса iconТематический план изучения курса алгебры и начал анализа в 11 классе
Тематическое планирование уроков алгебры и начал анализа составлено в соответствии с текстом учебника Колмогорова А. Н. и др
Тематический план курса iconУчебное пособие для средней школы/Под ред. И. Семакина, Е. Хеннера. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 1999
Учебно-тематический план изучения базового курса информатики для 5 класса ориентирован на первую ступень школьного образовательного...
Тематический план курса iconУчебное пособие для средней школы/Под ред. И. Семакина, Е. Хеннера. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2008
Учебно-тематический план изучения базового курса информатики для 9 класса ориентирован на вторую ступень школьного образовательного...
Тематический план курса icon1 Тематический план аудиторных занятий по дисциплине «Безопасность жизнедеятельности»
Тематический план аудиторных занятий по дисциплине «Безопасность жизнедеятельности»
Тематический план курса iconУчебно-тематический план № п\п
Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)
Тематический план курса iconТематический план по обучению грамоте
Календарные праздники и календарь. Животные и растения вокруг нас. Слова – названия
Тематический план курса iconТематический план. I-вый год обучения. № п./п. Тема. Кол-во часов в том числе теоретических практических всего 1

Тематический план курса iconТематический план дисциплины 3 семестр
Тема: Обобщающие статистические показатели. Показатели вариации. Выборочное распределение. Статистическое изучение взаимосвязи социально-...
Разместите ссылку на наш сайт:
Уроки, сочинения


База данных защищена авторским правом ©izlov.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
связаться с нами