1. уравнение с разделяющимися переменными icon

1. уравнение с разделяющимися переменными



Название1. уравнение с разделяющимися переменными
Дата17.10.2016
Размер
ТипЗадача


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. УРАВНЕНИЕ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ


Постановка задачи. Найти общий интеграл дифференциального уравнения вида . (1)

План решения.

1. В области, где и разделяем переменные, т.е. представляем уравнение (1) в виде .

2. Интегрируем обе части уравнения и преобразуем решение к виду .

Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде .)

.

Преобразуем уравнение: .

Разделяем переменные и находим решение.

Общее решение исходного уравнения: .
^

2. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ


Постановка задачи. Найти общий интеграл дифференциального уравнения вида (1), где и – однородные функции одинакового порядка, т.е. и .

План решения.

1. Преобразуем уравнение (1) к виду (1а)

2. Делаем замену , откуда и . Тогда уравнение (1а) приводится к виду , т.е. к уравнению с разделяющимися переменными.

3. Разделяем переменные в области, где : .

4. Интегрируем получившееся уравнение с разделенными переменными и делаем обратную замену .

Замечание. Если u=u0 – корень уравнения , то решением уравнения (1) будет также y=u0x.

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

Преобразуем уравнение: .

Замена , откуда  и .

Общее решение исходного уравнения:
^

3. УРАВНЕНИЯ ПРИВОДЯЩИЕСЯ К ОДНОРОДНЫМ


Постановка задачи. Найти общий интеграл дифференциального уравнения вида (1)

План решения.

Если , то уравнение (1) есть, очевидно, однородное. Пусть и (или одно из них) отличны от нуля.

1. Делаем замену переменных , (2), тогда .

2. Подставляя в уравнение (1) выражения x, y, и , будем иметь

(3)

3. Подберем h и k так, чтобы выполнялись равенства:

(4)

т.е. определим h и k как решения системы уравнений (4). При этом условии уравнение (3) становится однородным: .

Решив это уравнение и перейдя снова к x и y по формулам (2), получим решение уравнения (1).

Замечание 1. Система (4) не имеет решения, если , т.е. . Но в этом случае , т.е.  и, следовательно, уравнение (1) можно преобразовать к виду (5)

Тогда подстановкой (6) уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными: .

Замечание 2. Прием, примененный к интегрированию уравнения (1), применяется и к интегрированию уравнения , где f – произвольная непрерывная функция.

Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

.

Замена: , . Тогда .

Пусть

Тогда или .

Полагаем , откуда и . Тогда

Общее решение исходного уравнения: .

^

4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА


Постановка задачи. Решить задачу Коши для уравнения

(1), с начальным условием (2)

План решения.

Способ 1.

1. Ищем решение уравнения (1) в виде (3), где u и v – неизвестные функции x.

2. Уравнение (1) принимает вид (4)

3. Преобразуем уравнение (4) к виду (5) и полагаем . Это не сужает множество решений y, т.к. уравнение (5) содержит две неизвестные функции.

4. Решаем уравнение с разделяющимися переменными . Найдя v(x), подставляем его в уравнение (5) и находим u(x).

5. Записываем общее решение уравнения (1) в виде .

6. Используя начальные условия (2), получаем решение поставленной задачи Коши.

Способ 2.

1. Записываем соответствующее однородное линейное уравнение:

(6)

Это уравнение с разделяющимися переменными.

2. Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение однородного уравнения (6)

(7)

3. Применяем метод вариации произвольной постоянной.

а) ищем решение неоднородного уравнения (1) в виде (7), считая ^ C неизвестной функцией от x, т.е. полагая C=C(x);

б) подставляем в уравнение (1) y и , определяемые из соотношения (7), где C=C(x). Из полученного дифференциального уравнения определяем функцию C(x).

4. Общее решение неоднородного уравнения получаем в виде (7а)

Здесь ^ C(x) содержит произвольную постоянную C0.

5. Использую начальные условия (2), находим значение и получаем решение поставленной задачи Коши.

Замечание. Иногда бывает удобным представить x как функцию от y, т.е. x=x(y).

Задача 4. Найти решение задачи Коши.

Пример 1. .

Способ 1.

Полагаем . Тогда .

Получаем:

Пусть . Тогда .

Общее решение исходного уравнения: .

Используя начальное условие, находим решение задачи Коши.

Частное решение: .

Способ 2.

Решим соответствующее однородное уравнение:

Полагаем C=C(x) и подставляем в исходное уравнение.

.

Тогда .

Используя начальное условие, находим решение задачи Коши.

.

Частное решение .
^

Пример 2. .


Преобразуем уравнение к следующему виду, считая x функцией от y.

Способ 1.

Полагаем x=u(y)v(y). Тогда .

Пусть . Тогда .

Общее решение исходного уравнения: .

Используя начальное условие, находим решение задачи Коши.

y(2)=0 => C=2.

Частное решение: .

Способ 2.

Решим соответствующее однородное уравнение.

Полагаем C=C(y) и подставляем в исходное уравнение.

Общее решение: .

Используя начальное условие, находим решение задачи Коши.

y(2)=0 => C=2.

Частное решение: .
^

5. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ


Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для уравнения Бернулли (1), с начальным условием (2).

План решения.

1. Преобразуем уравнение (1) к виду и делаем замену , откуда . Тогда уравнение приводится к линейному . (3)

2. Решаем линейное уравнение (3) и делаем замену .

3. Используя начальное условие (2), находим решение поставленной задачи Коши.

Замечание. При решении уравнения Бернулли можно не приводить его к линейному, а искать решение в виде y=u(x)v(x) или методом вариации произвольных постоянных.

Задача 5. Найти решение задачи Коши. .

Преобразуем уравнение к виду и делаем замену , откуда . Тогда .

Полагаем , .

Пусть , тогда .

Общее решение исходного уравнения: .

Используя начальное условие, находим решение задачи Коши:

.

Частное решение: или .
^

6. УРАВНЕНИЕ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ


Постановка задачи. Найти общий интеграл дифференциального уравнения M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.     (1)

План решения.

1. Если в некоторой области D M(x,y) и N(x,y) имеют непрерывные частные производные и выполнено условие , то M(x,y)dx+N(x,y)dy – дифференциал некоторой функции U(x,y). Тогда уравнение (1) называется уравнением в полных дифференциалах и может быть записано в виде dU(x,y)=0 (2), где U(x,y) – непрерывная дважды дифференцируемая функция.

Из (2) следует, что интегральные кривые определяются уравнением U(x,y)=C при всех возможных значениях C.

Для отыскания U(x,y) заметим, что (3)

2. Интегрируя первое равенство в (3) по x, получим , где – неизвестная функция, которую еще предстоит найти.

3. Дифференцируя U по y, имеем .

4. Находим и затем U(x,y).

Задача 6. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

.

Имеем .

Т.е. имеем уравнение в полных дифференциалах.

или .

^

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ


Задача 7. Найти линию, проходящую через точку , если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью делится в точке пересечения с осью абсцисс в отношении a:b=1:2 (считая от оси Oy).

Уравнение касательной: , где (x,y) – координаты произвольной точки искомой линии.

По условию задачи . Треугольники KON и MLN – подобны. Следовательно .

Откуда .

Точка принадлежит касательной, поэтому .

Подставляя выражение для в предыдущее равенство, получаем дифференциальное уравнение первого порядка:

Т.к. линия проходит через точку , то .

Уравнение искомой линии: .
^

7. УРАВНЕНИЯ ВИДА


Постановка задачи. Найти общее решение дифференциального уравнения .

План решения.

1. Полагая , получим дифференциальное уравнение первого порядка .

2. Определяя тип этого уравнения и применяя соответствующий метод решения, находим , где – произвольная постоянная.

3. Т.к. , имеем .

Последовательно интегрируя k раз, получим ответ , где – произвольные постоянные.

Задача 8. Найти общее решение дифференциального уравнения.

.

Замена: , откуда .

Т.к. , то


^

8. УРАВНЕНИЕ ВИДА


Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения с начальными условиями .

План решения.

1. Поскольку дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной x, полагаем , где p(y) – новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем

.

Получили уравнение первого порядка относительно p(y): .

2. Определяя тип этого уравнения и применяя соответствующий метод решения, находим p=f(y,C), где C – произвольная постоянная.

3. Используя начальные условия, находим .

4. Подставляя , получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными .

Разделяя переменные в области, где , получаем и, интегрируя, находим .

Проверяем, не является ли решение особым решением исходного уравнения, удовлетворяющим начальным условиям.

5. Используем начальные условия для нахождения второй постоянной и получаем решение задачи Коши.

Задача 9. Найти решение задачи Коши

Замена , откуда .


Получаем

Решение задачи Коши: или .

^

9. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ


Постановка задачи. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , где – многочлен степени n, – многочлен степени m; p, q, a, b – действительные числа.

План решения.

Общее решение неоднородного линейного уравнения -го порядка имеет следующую структуру: (1), где , , …, – фундаментальная система решений, – общее решение соответствующего однородного уравнения, – частное решение неоднородного уравнения.

1. Записываем соответствующее однородное уравнение (2) и ищем его решение в виде , где k – неизвестное число.

Подставляя ,  и в уравнение (2) и сокращая , получаем так называемое характеристическое уравнение . (3)

2. Решаем характеристическое уравнение. Обозначим корни характеристического уравнения и . Тогда фундаментальная система решений и общее решение уравнения (2) записываются в одном из следующих трех видов:

а) если и вещественны и , то фундаментальная система решений – это ,  и общее решение имеет вид ;

б) если и вещественны и , то фундаментальная система решений – это , и общее решение имеет вид ;

в) если и комплексные, т.е. , то фундаментальная система решений – это ,  и общее решение имеет вид .

3. Ищем какое-либо частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть уравнения имеет вид (4), то можно применить метод подбора частных решений.

Если не является корнем характеристического уравнения (3), то , где и – многочлены степени с неопределенными коэффициентами.

Если есть корень характеристического уравнения (3) кратности S, то , где и – многочлены степени с неопределенными коэффициентами.

4. Находим неопределенные коэффициенты, подставив в исходное уравнение. Записываем ответ в виде (1).

Замечание. Аналогично решаются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами любого порядка.

Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Пример 1. .

Характеристическое уравнение:

.

Общее решение однородного уравнения: .

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде .

Находим .

Подставляем в исходное уравнение: 6A-2Ax-B=x-3.

Откуда

Частное решение неоднородного уравнения: .

Общее решение исходного уравнения: .

Пример 2. Решить уравнение

Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

Общее решение однородного уравнения:

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:


Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:


Частное решение имеет вид:

Общее решение линейного неоднородного уравнения:

Пример 3. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение однородного уравнения:

Частное решение неоднородного уравнения: .


Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:


Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

Пример 4.

Характеристическое уравнение: .

Общее решение однородного уравнения: .

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде .

Находим первую и вторую производные.

Подставляем в исходное уравнение.

Частное решение неоднородного уравнения: .

Общее решение исходного уравнения:




Похожие:

1. уравнение с разделяющимися переменными iconЗадача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши
Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к однородным
1. уравнение с разделяющимися переменными iconОднородные дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения первого порядка. Дело в том, что многие принципы решения однородных уравнений и используемые технические...
1. уравнение с разделяющимися переменными iconЗадача 6 баллов Решите уравнение: х
Пусть х 2 = t  0, тогда уравнение примет вид: t3 + t2 + t = Далее возможны различные способы решения
1. уравнение с разделяющимися переменными iconУрок математики 1 класс. Тема: Уравнение
Цели: ввести понятие «уравнение», научить решать простые уравнения на основе взаимосвязи между частью и целым
1. уравнение с разделяющимися переменными iconЛекция 13 введение в квантовую механику (продолжение) 13. 1 Уравнение Шредингера для свободной частицы
Направим ось Х вдоль вектора, а при соответствующем выборе начала отсчета потенциальной энергии положим u = Тогда стационарное уравнение...
1. уравнение с разделяющимися переменными iconЛекция комплексные числа
Одна из причин введения рациональных чисел обусловлена требованием, чтобы всякое линейное уравнение ax = b (где a  0) было разрешимо....
1. уравнение с разделяющимися переменными iconЗадача 6 баллов. Решите уравнение: Ответ : корней нет. Так как 4cos x  4, а 4 x
Так как 4cosx  4, а 4x2 – 4x + 5 = (2x – 1)2 + 4  4, то исходное равенство достигается т и т т., когда его левая и правая части...
1. уравнение с разделяющимися переменными iconВариант №12 в задачах 1-9 найти общие решения уравнений и частные решения, если есть начальные условия. 1
Ородным. Сделаем замену Тогда. Получим уравнение, или. Разделяем переменные: Интегрируем уравнение: Получим: или. Вернёмся к переменной...
1. уравнение с разделяющимися переменными iconКонтрольная работа студентки группы п-441 4 курса факультета психологии Александровой Натальи Эдуардовны
Анализ связей между признаками – главный вид задач, встречающийся практически в любом эмпирическом исследовании. Изучение связей...
1. уравнение с разделяющимися переменными iconЛекция 6 Непрерывные стационарные системы
Рассмотрим сначала простейшее дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами
Разместите ссылку на наш сайт:
Уроки, сочинения


База данных защищена авторским правом ©izlov.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
связаться с нами