Лекция 13 введение в квантовую механику (продолжение) 13. 1 Уравнение Шредингера для свободной частицы icon

Лекция 13 введение в квантовую механику (продолжение) 13. 1 Уравнение Шредингера для свободной частицы



НазваниеЛекция 13 введение в квантовую механику (продолжение) 13. 1 Уравнение Шредингера для свободной частицы
Дата17.10.2016
Размер
ТипЛекция

ЛЕКЦИЯ 13

ВВЕДЕНИЕ В КВАНТОВУЮ МЕХАНИКУ (продолжение)


13.1 Уравнение Шредингера для свободной частицы


При свободном движении частицы ее потенциальная энергия
= 0, а скорость движения постоянна . Направим ось х вдоль вектора , а при соответствующем выборе начала отсчета потенциальной энергии положим U = 0. Тогда стационарное уравнение Шредингера (12.11) примет вид:

. (13.1)

Уравнение (13.1) имеет решение, которое представим в комплексном виде

,

где А и В – некоторые постоянные.

Решение нестационарного уравнения Шредингера в этом случае имеет вид:

. (13.2)

Полученное решение представляет собой суперпозицию двух плоских монохроматических волн с циклической частотой , одна из которых распространяется в положительном направлении оси х с амплитудой А, другая  в противоположном направлении с амплитудой В. Из сопоставления с формулой (13.5) для плоской монохроматической волны следует, что волновое число k для свободной частицы равно .

Таким образом, свободной частице в квантовой механике сопоставляется плоская монохроматическая волна де Бройля.


13.2 Решение стационарного уравнения Шредингера для частицы
в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме



Рассмотрим движение частицы вдоль направления х, при этом движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками: х = 0 и х = l. Потенциальная энергия U в этом случае равна (рис.13.1):

U = 0 при 0  xl,

U = ∞ при x < 0 и x > l.

Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид:

. (13.3)

Вероятность обнаружить частицу за пределами ямы равна нулю, так как частица не может обладать бесконечно большой энергией. Из условия непрерывности волновой функции следует, что должна быть равна нулю и на границах ямы, т. е.

(13.4)




Рис. 13.1


В области, где  не равна тождественна нулю, уравнение (13.3) принимает вид:

. (13.5)

Обозначим , тогда (13.5) примет вид

.

Решение такого уравнения, как известно, имеет вид:

(x) = Asin(x + ).

Найдем  и , используя граничные условия (13.4) Из условия (0) = 0 получаем:

(0) = Asin  = 0,

откуда следует, что  = 0. Из условия, что (l) = Asin l = 0 имеем:

l = n, (n = 1, 2, 3, …). (13.6)

Из соотношения (13.6) вытекает, что решение уравнения (13.5) будут иметь физический смысл не при всех значениях энергии Е, а только при значениях, удовлетворяющих условию:

(n = 1, 2, 3, …)

откуда:

(n = 1, 2, 3, …). (13.7)

Соотношение (13.7) указывает на то, что другие значения энергии частицы чем En невозможны: вероятность обнаружить внутри потенциальной ямы частицу с энергией, отличной от E, равна нулю. Физические величины, которые могут принимать лишь определенные дискретные значения, называются квантованными.

Таким образом, энергия частицы, находящейся в потенциальной яме, квантуется.

^ Квантованные значения Eп называются уровнями анергии, а числа п, определяющие энергетические уровни электрона, называются квантовыми числами.

Для определения коэффициента А воспользуемся условием нормировки волновой функции, которое в данном случае запишем:

.

Интеграл в последнем выражении равен . В результате получим , откуда .

Таким образом, собственная функция частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме имеет вид:

. (13.8)

Г
рафики плотности вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенки ямы при разных значениях n.

Рис. 12.3

Например, для потенциальной ямы с размерами, соизмеримыми с размерами атома величина l ~ 10–8 м, и собственные значения энергии электрона образуют последовательность энергетических уровней, расстояние между которыми ΔE = En+1En  1 эВ. В потенциальной яме макроскопических размеров ~1 см соседние энергетические уровни отличаются друг от друга на величину ~10–14 эВ.

^ 13.3 Гармонический осциллятор. Спектр энергии осциллятора.
Нулевые колебания


Классический гармонический осциллятор представляет собой шарик с массой т, подвешенный на пружине. Если мы направим ось x вдоль оси пружины и за начало отсчета примем положение равновесия шарика, то сила F, действующая на шарик, будет связана с координатой х известной формулой F = –kx, где k – жесткость пружины.

Потенциальная энергия шарика имеет вид

U = 2/2. (13.9)

Если такой шарик вывести из состояния равновесия, то он будет совершать гармонические колебания с частотой  = (k/m)1/2.

Из (13.9) видно, что потенциальная кривая гармонического осциллятора является параболой. Поэтому задача о гармоническом осцилляторе – это задача о поведении частицы в потенциальной яме параболической формы.

Для решения задачи о квантовомеханическом осцилляторе необходимо найти конечное, однозначное, непрерывное и гладкое решение уравнения Шредингера при U = –2/2, т. е. уравнения

. (13.10)

Точное решение уравнения (13.10) приводит к следующему выражению для спектра возможных значений энергии осциллятора:

,

где п = 0, 1, 2, ….

Отсюда видно, что наименьшее значение энергии осциллятора не равно нулю. Значение энергии осциллятора при n = 0



называется «нулевой энергией».

Квантовомеханическая частица не может «лежать» на дне параболической потенциальной ямы, точно так же как она не может лежать на дне прямоугольной, или какой бы то ни было другой потенциальной ямы конечной ширины.

^ Энергия осциллятора пропорциональна первой степени п, поэтому энергетические уровни оказываются равноотстоящими один от другого (эквидистантными).

Чтобы «раскачать» осциллятор, нужно добавить ему энергию, равную разности энергий соседних уровней. Изменение (например, приращение) энергии осциллятора соответствует переходам между уровнями энергии En (указаны стрелками).



Рис.13.3

На рис. 13.4, а - графики волновых -функций, являющихся решениями уравнения (13.10) при п = 0, 1, 2 и 6; вдоль оси х отложены отрезки, равные удвоенным амплитудам колебаний классического осциллятора при Е, равных E.

На рис. 13.4, б сплошными кривыми изображены кривые распределения плотности вероятности |(x)|2 для тех же состояний квантового осциллятора, а пунктиром – плотность вероятности найти классический осциллятор в окрестности точки х.




а



б


Рис. 13.4


Видно, что при малых квантовых числах п квантовомеханический осциллятор ведет себя совершенно иначе, чем классический. Вероятность найти классический осциллятор всегда является наибольшей для точек поворота, так как в этих точках его скорость равна нулю, а для квантовомеханического осциллятора вероятность оказывается максимальной в точках, соответствующих «пучностям» -функции.

Но при больших п усредненная кривая для распределения плотности вероятности квантовомеханического осциллятора хорошо согласуется с кривой для классического осциллятора.

Следует отметить еще одну особенность квантовомеханического осциллятора:

квадрат функции |(x)|2 не равен нулю за точками поворота (т. е. вне пределов, ограничивающих движение классического осциллятора).

^ 13.4 Туннельный эффект

Если же высота ямы конечная, то в силу «размытости» волновой функции частицы (см. например, рис. 13.4, б) существует не равная нулю вероятность того, что частица может находиться за пределами потенциальной ямы.


Рассмотрим потенциальную яму, изображенную на рис. 13.5. Это изображение отличается от рис. 13.1 тем, что область, в которой потенциальная энергия отлична от нуля, занимает узкий интервал, от а до b

Область а < х < b называют потенциальным барьером.

Просачивание частиц сквозь потенциальный барьер носит название туннельного эффекта.





Рис. 13.5


Для описания туннельного эффекта вводится понятие прозрачности D потенциального барьера как отношение вероятностей нахождения частицы за барьером к вероятности нахождения частицы перед барьером. Вероятность нахождения частицы определяется квадратом волновой функции. Поэтому, прозрачность потенциального барьера равно отношению квадратов соответствующих волновых функций. Решение уравнения Шредингера для прямоугольного потенциального барьера конечной высоты U показывает, что прозрачность барьера шириной (b-a) выражается формулой

, (13.11)

где m  масса частицы, Е  полная энергия частицы. Туннельный эффект играет заметную роль когда линейные размеры потенциального барьера соизмеримы с атомными размерами, а масса частицы мала.

^ Примером прохождения частиц сквозь потенциальный барьер является -распад радиоактивных ядер. При -распаде материнское ядро испускает -частицу, состоящую из двух протонов и двух нейтронов.

При больших расстояниях взаимодействие между ядром -частицей описывается законом Кулона. На малых расстояниях (порядка размеров ядра) между дочерним ядром и -частицей начинают сказываться короткодействующие силы притяжения – ядерные силы. В результате высота потенциального барьера составляет примерно 20 МэВ, в то время как энергия -частиц обычно не превышает 7 МэВ. Поэтому, вероятность прохождения частиц сквозь барьер очень мала, вследствие чего периоды полураспада радиоактивных ядер, которые обратно пропорциональны коэффициентам прозрачности, очень велики.


Равновесные свойства газов.

^ 1. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа.

2. Внутренняя энергия системы и способы ее изменения. Внутренняя энергия идеального газа.

^ 3. Теплоемкость идеального газа. Классическая теория теплоемкости идеального газа и ее ограниченность.

4. Распределение энергии молекул по степеням свободы


^ ЭЛЕМЕНТЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ


13.5. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа.


Предмет молекулярной физики


Молекулярной физикой называют раздел физики, занимающийся изучением зависимости физических свойств и агрегат­ных состояний тел от их внутреннего строения, сил взаимодействия между частицами, образующими тела, и характера их движения.

^ В разреженных газах молекулы удалены друг от друга настолько, что силы взаимодействия между ними практически отсутствуют. Движение частиц хаотично, т. е., в среднем, в каждом направлении в любой момент времени движется одинаковое число молекул.

В твердых кристаллических телах силы взаимодействия между частицами очень велики и поэтому молекулы не могут удалиться друг от друга на очень большие расстояния. В результате совместного вли­яния сил притяжения и отталкивания частицы твердых тел моле­кулы, атомы или ионы совершают колебания около некоторых средних положений, называемых узлами кристаллической решетки.

^ В жидкостях молекулы внутри жидкости колеблются и медленно перемещаются, находясь некоторое время около определенных мест.

Задача молекулярной физики заключается в том, чтобы описать состояние газа с помощью небольшого количества физических параметров (давления, температуры, массы, теплоемкости и т.д.), связав их с микроскопическими параметрами. Решение этой задачи достигается путем усреднения отдельных микроскопических величин.


Основные положения кинетической теории


В основе кинетической теории газов лежат следующие положения:

^ 1. Все тела состоят из большого количества атомов и молекул, движущихся в случайных направлениях с различными скоростями,

2. Расстояния между молекулами значительно превышают размеры самих атомов или молекул,

^ 3. Движение каждой молекулы подчиняется законам классической механики.

4. Взаимодействие молекул между собой носит характер упругих столкновений.

^ Газ, который удовлетворяет всем этим требованиям, называется идеальным.

В нормальных условиях (давление p0 =105 Н/м2 , температура T0= 273 К) поведение большинства реальных газов может достаточно точно описываться законами идеального газа, но при сильных сжатиях конечный размер молекул приводит к заметному отклонению поведения реальных газов от идеального.


^ Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа


Рассмотрим объем газа в сосуде в виде куба (рис. 1.1, а) и определим давление на его стенку, например стенку I, перпендикулярную к оси x. В кинетической теории газов предполагается, что давление газа на стенку сосуда создается за счет упругих ударов молекул газа об эту стенку. Массы всех молекул считаются одинаковыми и равными m0. При упругом ударе кинетическая энергия молекул сохраняется, и, следовательно, сохраняется, абсолютное значение скорости молекулы до и после ее удара о стенку. При упругом ударе под некоторым углом к поверхности стенки (см. рис. 1-1б) средняя сила, действующая на стенку вдоль оси z от соударений многих молекул, равна нулю. Поэтому передача импульса молекулы происходит только в направлении оси x (нормали к стенке). Проекция импульса на ось x изменяет свой знак (рис.1-1б).

Обозначим через ni количество молекул в единице объема, проекции скорости которых на ось x равны ±υix. Положительная проекция соответствует острому углу между вектором скорости и направлением оси, а отрицательная – тупому углу (см. рис.1-1б). При хаотическом движении количество молекул, имеющих положительные и отрицательные проекции на данную ось можно считать одинаковым и равным ni /2, так как движение во всех направлениях равновероятно.

Из выделенной группы молекул за промежуток времени t стенки II с площадью S достигнут лишь те молекулы, скорости которых направлены к стенке, и которые находятся от стенки на расстоянии, не превышающем υixt, или те молекулы, которые находятся внутри объема V = ixt . Тогда полное число ударов молекул, содержащихся в объеме V, о стенку за время t равно:

. (1.11)

Если до удара молекулы о стенку проекция импульса на ось x была равна m0υix то после удара она станет равной (–m0υix)). Изменение импульса одной молекулы ki при ударе молекулы о стенку равно импульсу, который передается стенке

ki = m0υix –(– m0υix)) = 2 m0υix.








Рис.1.1


В результате ударов всех молекул, которые имеют проекцию скорости υix, импульс, передаваемый стенке, будет равен

Ki = kiNix= m0υix niSυixΔt = m0 niSυix2Δt. (1.12)

Чтобы найти общее изменение импульса всех молекул при ударах о стенку Кх в направлении оси х, нужно просуммировать выражение (1.12) по всем значениям скоростей молекул, т.е. по всем υix:

. (1.13)

Умножим и разделим правую часть (1.13) на концентрацию всех молекул в рассматриваемом объеме, которую обозначим через n:

. (1.14)

Величина в правой части есть среднее арифметическое, или просто среднее значение квадрата проекции скорости υix, которое обозначим . С учетом (1.14 ) выражение (1.13) примет вид:

. (1.15)

Давление на стенку в направлении оси х будет равно:

. (1.16)

Так как по второму закону динамики Fx= ΔКх/Δt, то согласно (1.16):

. (1.17)

По закону Паскаля p = px = py= pz (py и pz - давление на стенки, перпендикулярные осям y и z, соответственно). Записывая выражения аналогичные (1.17) для давлений py и pz и складывая их, получим:

. (1.18)

Сумма средних квадратов проекций скоростей равна среднему квадрату полной скорости:

. (1.19)

Подставив (1.19) в равенство (1.18), получим:

,

откуда:

. (1.20)


Формула (1.20) определяет величину давления газа на стенки сосуда. Величину давления можно выразить через среднюю кинетическую энергию, приходящуюся на одну молекулу εk. Для этого умножим и разделим на 2 правую часть соотношения (1.20):

, (1.21)

где: . Формула (1.21) связывает давление газа со средней кинетической энергией молекул идеального газа. Эту формулу называют основным уравнением кинетической теории газов.

Пример 1-1. Оценка массы, средней энергии и скорости движения молекул в азоте при нормальных условиях.

Массу молекулы азота можно определить из соотношения (1.8):



При нормальном давлении p=105 Н/м2 в 1 м3 газа содержится n =
= 2,7 · 1025 молекул (число Лошмидта). Согласно формуле (1.21) средняя кинетическая энергия молекулы равна:

.

Скорость движения молекул можно оценить по формуле:

.








Похожие:

Лекция 13 введение в квантовую механику (продолжение) 13. 1 Уравнение Шредингера для свободной частицы iconРешение одномерного стационарного уравнения Шредингера на компьютере, отбор физически приемлемых решений, изучение влияния формы и параметров потенциальной ямы на уровни энергии и волновые функции связанных состояний
Стационарное уравнение Шредингера является уравнением на собственные значения оператора Гамильтона
Лекция 13 введение в квантовую механику (продолжение) 13. 1 Уравнение Шредингера для свободной частицы iconЛекция 1 введение в классическую механику
Классическая механика изучает механическое движение макроскопических объектов, которые движутся со скоростями много меньше скорости...
Лекция 13 введение в квантовую механику (продолжение) 13. 1 Уравнение Шредингера для свободной частицы iconЛекция Этапы развития вычислительной техники от античных времен и до наших дней. Введение
Также первобытному человеку трудно было угадать последствия изобретения орудий труда. Тогда был сделан первый гигантский шаг становления...
Лекция 13 введение в квантовую механику (продолжение) 13. 1 Уравнение Шредингера для свободной частицы iconЛекция 9 механические волны в упругой среде
Тело, колеблющееся в упругой среде, периодически воздействует на прилегающие к нему частицы среды, выводя их из положений равно­весия...
Лекция 13 введение в квантовую механику (продолжение) 13. 1 Уравнение Шредингера для свободной частицы iconЛекция 1 поглощение света в полупроводниках при межзонных оптических переходах во многом это пока свободной переложение нескольких параграфов учебника А. И. Ансельма «Введение в теорию полупроводников»
Фундаментальная полоса поглощения оптические переходы между состояниями валентной зоны и зоны проводимости. Матричный элемент перехода...
Лекция 13 введение в квантовую механику (продолжение) 13. 1 Уравнение Шредингера для свободной частицы iconЛекция комплексные числа
Одна из причин введения рациональных чисел обусловлена требованием, чтобы всякое линейное уравнение ax = b (где a  0) было разрешимо....
Лекция 13 введение в квантовую механику (продолжение) 13. 1 Уравнение Шредингера для свободной частицы iconЗадача 6 баллов Решите уравнение: х
Пусть х 2 = t  0, тогда уравнение примет вид: t3 + t2 + t = Далее возможны различные способы решения
Лекция 13 введение в квантовую механику (продолжение) 13. 1 Уравнение Шредингера для свободной частицы iconХод урока Анализ контрольной работы
Левкиппом и Демокритом свыше двух тысячелетий тому назад. Частицы эти были названы «атомами», что означает неделимые. Но с середины...
Лекция 13 введение в квантовую механику (продолжение) 13. 1 Уравнение Шредингера для свободной частицы iconУрок математики 1 класс. Тема: Уравнение
Цели: ввести понятие «уравнение», научить решать простые уравнения на основе взаимосвязи между частью и целым
Лекция 13 введение в квантовую механику (продолжение) 13. 1 Уравнение Шредингера для свободной частицы iconКонспект лекций Лекция 1
Понятие тонкопленочного состояния вещества. Малые частицы, кластеры. Основные определения, Применение тонких пленок в различных областях...
Разместите ссылку на наш сайт:
Уроки, сочинения


База данных защищена авторским правом ©izlov.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
связаться с нами