Лекция 9 Тема : Математика в Европе в Средние века и в эпоху Возрождения icon

Лекция 9 Тема : Математика в Европе в Средние века и в эпоху Возрождения



НазваниеЛекция 9 Тема : Математика в Европе в Средние века и в эпоху Возрождения
Дата17.10.2016
Размер
ТипЛекция

Лекция 9

Тема: Математика в Европе в Средние века и в эпоху Возрождения.


План:

  1. Первые университеты.

  2. Леонардо Пизанский. Николь Орем.

  3. Решение уравнений третьей и четвертой степеней.

  4. Мнимые величины.

  5. Алгебра Ф.Виета.

  6. Симметрические функции корней.

  7. Отрицательные числа.

  8. Теория перспективы.


Первые математические сочинения в Западной Европе. Распространение позиционной арифметики. Переводы с арабского и греческого. Открытие первых университетов. Математика в трудах Леонардо Фибоначчи, Иордана Неморария, Николя Орема, Луки Пачоли, и др. Решение уравнений 3 –ей и 4 –ой степени итальянскими алгебраистами (Н.Тарталья, Д.Кардано и др.). Появление мнимых чисел (Д.Кардано, Р.Бомбелли). Математика в трудах коссистов (М.Штифель и др.). Десятичные дроби (С.Стевин). Развитие алгебры и алгебраической символики (П.Рамус, Ф.Виет и др.). Отрицательные числа. Развитие плоской и сферической тригонометрии (Региомонтан, Н.Коперник).

Время государства в Западной Европе феодальных отношений, продолжавшееся с V-VI вв. около тысячи лет, именуется Средними веками. Эта историческая эпоха делится на три главные стадии.

Ранний феодализм – примерно до XI в. Развитый феодализм – с XI по XVв.

Разложение феодального строя – XV – XVII в.

Основой прогресса культуры и науки в средние века служило постепенное развитие ремесла, товарного производства и торговли, подъем особенно со 2-ой половины XIв. – городов, улучшение материального положения и усиление общественной роли горожан.

Духовный мир европейца на протяжении Средних веков обогащается усвоением значительной части античного наследия и достояния стран Востока. Большое значение имели непосредственные контакты с арабской культурой. Трудно переоценить стимулирующую роль переводов на латынь (ставшую в Западной Европе общим языком ученых) арабских сочинений, а также переводов греческих авторов. Непосредственное изучение последних приобретает более широкий размах уже позднее, в эпоху Возрождения в XV – XVI в.

Передовое движение культуры и науки в феодальной Западной Европе протекало сравнительно медленно, в острой борьбе с реакционными силами, чаще всего принимавшей форму борьбы между религиозными течениями. Церковь жестоко преследовала представителей философской и научной мысли, отклонявшихся от религиозной ортодоксии.

Наибольшие достижения в области науки принадлежали народам более развитых государств – Италии, Франции, Англии, Германии, хотя некоторые замечательные открытия были сделаны и в других странах.

Под сильным влиянием Византии складывалась культура тесно с ней связанных балканских стран Руси, Армении, Грузии. Византия в середине XV в. рухнула под натиском турок. Русь была покорена – монголо-татарами, Грузия и Армения и арабами, и монголо-татарами, и турками, и персами. Иноземные нашествия надолго задержали культурное и научное развитие восточно-христианских стран и даже отбросили их назад.

Татарское нашествие (XIII-XVв.) надолго задержало развитие науки на Руси. Полчища Батыя, так же как и войска его двоюродных братьев Хулагу и Хубилая разрушали все культурные центры завоеванных стран. При этом на Руси не нашлось ученых, которые, сотрудничая с захватчиками, организовали бы в условиях татарского ига центры науки. Все силы были направлены на сопротивление захватчикам.

^ Первые университеты.

Медицинский – в Салерно (первая половина XI в.), в Болонье – 1100г., Парижский университет – XII., Оксфордский (XII), Кембриджский – 1209г., в Праге – 1348г., в Кракове – 1364г., Вене – 1365г., Лейпциге – 1409г., Базеле – 1459г. и т. д. Все эти университеты, в отличие от первых двух, не были узкопрофессиональными школами. В течение нескольких столетий математика оставалась только вспомогательной дисциплиной и отдельных кафедр, да и особых преподавателей математики не было. И хотя подготовка математиков не была специальной целью университетов, из них вышли такие замечательные математики как Томас Брадвардин в Англии, Николь Орем во Франции, Иоганн Мюллер – Региомонтан в Германии и Николай Коперник в Польше.

^ Леонардо Пизанский

Первым самостоятельным математиком Западной Европы, полностью осветившим все достижения математиков стран ислама и продвинувшимся дальше их, был итальянец Леонардо Пизанский (1180-1240), известный также под именем Фибоначчи (сын Фибоначчи). Леонардо родился в Пизе – крупном торговом центре Италии того времени. Он изучал математику у арабских учителей. Леонардо посетил Египет, Сирию, Византию и Сицилию.

Основной труд Леонардо – «Книга абака» - написана в 1202г. Под словом «абак» он подразумевает не счетную доску, а арифметику вообще. Эта книга послужила одним из важных средств распространения новой арифметики и других математических знаний в Европе.

Леонардо систематизировал в ней огромное количество сведений, почерпнутых из арабских трудов, добавил кое-что из античного наследия вообще и присоединил свои собственные задачи и методы.

Всего в книге 15 глав. Первые 5-ть из них посвящены арифметике целых чисел на основе новой нумерации. Он выступает решительным сторонником методов, которые называет индийскими.

В главах VI и VIII он учит действиям над смешанными числами и дробями, причем дроби приводятся к общему знаменателю более рациональным образом, чем у арабских математиков, – с помощью нахождения наименьшего общего кратного знаменателей.

В главах VIII-X изложены приемы решения задач коммерческой – арифметики.

В главе XI рассмотрены задачи на смещение (определение пробы сплава, отношение количеств данных сплавов). Решение этих задач дается в форме рецептов. Среди этих задач есть задачи о птицах: 30 птиц стоят 30 монет, куропатки стоят по 3 монеты; голуби по 2 и пара воробьев по монете; спрашивается, сколько птиц каждого вида. Леонардо трактует ее как задачу на сплав (сплав достоинства 30:30=1 должен быть составлен из целочисленных количеств достоинства 3,2,½) и приводит единственное целое положительное решение 3,5,22.

В XII главе приводятся задачи на суммирование рядов – арифметической и геометрической прогрессий, ряда квадратов и, впервые в истории математики, возвратного ряда. Примером шуточной задачи, обошедшей многие страны, является задача о 7 старухах, направляющихся в Рим, у каждой из которых по 7 мулов, на каждом из которых по 7 мешков, в каждом из которых по 7 хлебов, при каждом из которых по 7 ножей каждый из которых в 7 ножнах. Сколько всего предметов (137256). Подобная задача встречалась еще в древнем Египте.

Возвратный ряд появляется в задаче о кроликах. Спрашивается, сколько пар кроликов родится в год от одной пары, если каждая пара приносит ежемесячно по паре, способной в свою очередь через месяц к размножению, и если ни одна пара не погибает. Ответ дается суммой ряда 1+1+2+3+5+…+144=376, каждый член которого, кроме первых 2-х, равен сумме двух предыдущих.

. Ряд этот носит название «ряда Фибоначчи» и представляет частный случай важного класса возвратных рядов, члены которых выражаются линейными комбинациями нескольких предыдущих.

Впервые у Леонардо появляется важная и популярная впоследствии задача о наименьшем числе гирь, с помощью которых можно взвесить все целые веса, меньше некоторого заданного. Ответ Леонардо 1,3,9,27,… основан на том, что всякое целое число можно представить суммой или разностью различных степеней числа 3 и 1.

Леонардо рассматривает различные задачи, приводящиеся к линейным уравнениям, для решения которых он применяет различные приемы: метод одного ложного положения, словесно-алгебраическое решение, правило двух ложных положений. Вместе с тем он излагает и такой прием решения линейных уравнений, как прямое правило и о котором сообщает, что он применяется арабами и заслуживает высокой похвалы, т. к. с его помощью можно решить бесчисленное множество задач. Прямое правило – это алгебраическое решение, которое он, подобно восточным математикам, приводит без символики. Неизвестную он именует res т.е. вещью (перевод арабского «шай»).

Задача. Если первый человек получит от второго 7 денариев, то он будет впятеро богаче второго; если второй человек получит от первого 5 денариев, он будет в семеро богаче первого. Сколько было у каждого?

Леонардо принимает имущество второго за вещь и 7 денариев; тогда первый человек по условию должен иметь 5 вещей без 7 денариев. Если первый даст второму 5 денариев, то у первого останется 5 вещей без 12 денариев, а у второго будет вещь и 12 денариев. Т.о. вещь и 12 денариев в семь раз больше, чем 5 вещей без 12 денариев, откуда 34 вещи составляют 96 денариев, одна вещь есть денариев и тд. Он рассматривает задачи с 2-я, 3–я и 4-я участниками.

Он рассматривает и такие квадратные уравнения:

. Нашел следующий корень



и следующие системы уравнений.

, .

«Книга абака» отличается от литературы XII – XIV в. разнообразием и силой методов, богатством задач, доказательностью изложения. Последующие математически черпали из нее как задачи, так и приемы решения, которые в XV – XVI в. были переведены на немецкий, французский, английский, русский языки. Задачи Леонардо переходили из одних сочинений в другие их можно встретить и в знаменитой «Алгебре» Эйлера (1768) и много позднее.

Известны и другие его книги: «Практика геометрии», содержащая разнообразные теоремы, относящиеся к измерению величин, к арифметике, планиметрии и стереометрии (1220г.), «Книга квадратов» (1225г.), содержащая задачи на неопределенные квадратные уравнения. В одной задаче, предложенной ему магистром Иоанном Палермским, философом императора Фридриха II, в присутствии последнего, требовалось найти (рациональное) квадратное число, которое, будучи увеличено или уменьшено на 5, вновь дает (рациональные) квадратные числа.

Его прием решения заключается в следующем: всякое квадратное число n2 является суммой первых n нечетных чисел.



В другой задаче требуется найти числа x,y,z так, чтобы каждая из сумм.



была квадратным числом. Он дает решение: .

Эта работа Леонарда представляет собой единственное ценное исследование по теории чисел в Европе за рассматриваемый период.

Как получено это решение?

Решение кубического уравнения является одним из трудных задач, также предложенных Иоанном Палермским. Об этой задаче речь идет в трактате «Цветок». Сначала доказывается, что не может быть целым (положительным) числом, поскольку из следует, что меньше 2, а . Но также не может быть (рациональной) дробью, равно как и квадратным корнем рационального числа. Если уравнение переписать так: , то иррациональное число было бы равно рациональному. И приводит приближенное решение в шестидесятиричных дробях: не указывая, однако, способа, которым он его получил.

Этот замечательный по точности результат только примерно на 3∙10-11 превосходит истинное значение корня. Доказательство невозможности решения кубического уравнения при помощи квадратных иррациональностей было, несмотря на свою неполноту и отсутствие общности, первым шагом вперед в исследовании вопроса о решении кубических уравнений в радикалах.

^ Николь Орем

Французский ученый (ок.1323-1382).

Один из зачинателей научной литературы на французском языке, перевел ряд сочинений Аристотеля. Ряд трудов Орема относится к астрономии и механике. Интересна разработка им теории отношений. Этому вопросу он посвятил два сочинения: «Трактат об отношениях» (около 1350г.) и «Алгоризм отношений». Во втором труде Орем вводит наряду с двойными, тройными, и т.д. n – кратными отношениями четвертные, полуторные и другие дробно-рациональные отношения, которые соответствуют нашим , , и т.д. Например, исходя из того, что , он заключает, что 8 находится в полуторном отношении к 4 (в современной записи ), что записывает (p-первая буква слова proportio). Далее, Орем словесно формулирует правила операций с дробными отношениями вида



и др.

Создание формального алгоритма дробных отношений, т.е. по существу, обобщение действия возведения в степень на положительно дробные показатели, явилось важным достижением средневековой алгебры. Хотя, это сочинение Орема было напечатано только в XIX в., оно получило распространение и в Средние века.

Замечательным открытием Орема является доказательство расходимости такого гармонического ряда, как . Он отмечает, что если части некоторой величины , например, некоторого отрезка, равные при n>1, последовательно прибавляются друг к другу, то их сумма никогда не является бесконечной, и формулирует правило суммирования бесконечной убывающей геометрической прогрессии. В то же время Орему известно, что прибавление бесконечно многих частей величины к ней, даже в случае, когда эти части неограниченно убывают, может дать бесконечно большую сумму, что иллюстрируется примером: час подразделяется на бесконечно много частей, образующих геометрическую прогрессию и в каждую из этих частей часа приходится соответственно фут, 1/2 фута, 1/3 фута, 1/4 фута и т.д. Тогда сумма бесконечна, т. к. больше , сумма от до также больше , так же как сумма от до и т.д. Расходимость гармонического ряда (термин появился в XVII в.) была доказана снова независимо от Орема и другим способом П. Менголи в 1650г., дальнейшие доказательства были даны Иоганном и Якобом Бернулли в 1689г.

^ Эпоха возрождения

XV и XVI века вошли в историю Европы под названием «эпохи возрождения», при этом имеется ввиду возрождение того высокого уровня культуры, который был достигнут в античном мире. Именно в это время в недрах феодального строя возникает новый общественный строй – буржуазное общество.

Исторически сложилось так, что именно в математике начинают искать последний критерий истины. Математика уже в то время становится и остается основным инструментом европейской культуры.

В XV-XVI вв. математика развивается главным образом в Италии, Франции и Германии, а позже Голландии.

На Руси математика начинает развиваться только в XVI в., когда после освобождения Руси от татарского ига устанавливаются новые связи между нею и Западной Европой.

Наибольших успехов в XV–XVI в. добились такие математики Европы, как Лука Пачоли, Никола Шюке, Симон Стевин, Франсуа Виет (в области алгебры) Региомонтан, Коперник (в области тригонометрии), Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер (в теории перспективы) и др.

^ Решение уравнений 3-ей и 4-ой степени

Открытие, связанное с решением кубических уравнений в радикалах, является первым крупным математическим достижением европейских ученых, существенно превзошедшим открытия математиков Востока.

Первым удалось решить в радикалах один из видов кубического уравнения профессору Болонского университета Шипионе дель Ферро (1456-1526). По обычаю того времени дель Ферро не опубликовал решения, а сообщил его своему ученику Фиор, который пользовался правилом решения, найденным дель Ферро, на математических турнирах. На одном из таких турниров Фиор встретился Николо Тартальей (1500 - 1557) (фамилия не настоящая). Он был прозван Тартальей потому, что во время взятия города французами был тяжело ранен в гортань, в результате чего на всю жизнь он остался заикой. Тарталья перед турниром, состоявшимся 12 февраля 1535г., самостоятельно нашел правило дель Ферро и решил все задачи, предложенные Фиоре, который был настолько обескуражен, что не решил ни одной задачи, предложенной Тартальей. Через день после турнира Тарталья нашел и решения уравнения . Эти открытия Тартальи были опубликованы в алгебраическом трактате Джироламо Кардано (1501-1556) «Великое искусство или об алгебраических правилах».

В 1539г. Кардано, узнав об открытии Тартальи, выпросил у него формулировку решения, поклявшись его не публиковать. Тарталья сообщил свое правило в стихотворении из 25 строк, составленном им для лучшего запоминания. Восстановив по не вполне ясным формулировкам правило и доказав его, Кардано счел себя вправе поместить решение в своей книге, упомянув об авторстве Тартальи. Несмотря на это, за правилом закрепилось название «формула Кардано». Кардано – это выдающийся ученый во многих областях науки.

Уравнение решалось дель Ферро и Тартальей следующим образом: находились числа U и V, удовлетворяющие условиям , U и V являются корнями квадратного уравнения и , т.е. .

Для решения уравнения Тарталья находил числа U и V, удовлетворяющие условиям , (т. е. корни уравнения) , тогда т.е.

Об уравнении Тарталья в том же стихотворении сообщает, что его можно решить при помощи уравнения . Связь между этими двумя уравнениями состоит в том, что положительные корни одного из них равны модулям отрицательных корней другого. В случае, когда , уравнение имеет один положительный корень и два мнимых, которые математики XVI в. не рассматривали. В случае, когда , уравнение имеет один положительный корень и два отрицательных, и, следовательно, уравнение - два положительных корня и один отрицательный. Этот случай Кардано назвал «неприводимым» т.к. действительное значение x при этом является суммой двух мнимых выражений, и считал неразрешимым.

Полные кубические уравнения сводились к уравнениям указанного вида при помощи подстановки. Например, Кардано решал уравнение , сводя его к решенным ранее видам уравнений при помощи подстановки .

В «Великом искусстве» Кардано был изложен открытый его учеником Луиджи Феррари (1522-1565) метод решения уравнения 4 – ой степени. Этот метод непосредственно применяется к уравнениям вида (Кардано, пользовавшийся только положительными коэффициентами записывал члены по обе стороны от знака равенства). Уравнение 4-ой степени общего вида можно привести к этому виду подстановкой . Феррари заметил, что , и добавил к обеим частям . Слева получился полный квадрат , а правая часть является полным квадратом в том случае, когда .

Решив это кубическое уравнение и найдя один из его корней, Феррари извлекал квадратные корни из обоих полных квадратов и получил квадратные уравнения , корни которых являются корнями данного уравнения.

Решение уравнений 3 – ей и 4 –ой степеней в радикалах имело огромное значение для прогресса алгебры, да и всей математики. Здесь важна прежде всего общая проблема решения в радикалах уравнений высших степеней - проблема во многом определившая развитие алгебры на протяжении теоретико-групповых методов исследования, а затем и самой теории групп.

^ Мнимые величины

Впервые встречаемся с новым математическим объектом – мнимыми величинами в «Великом искусстве» Кардано, когда он рассматривает выражения вида (эта запись дается в современных обозначениях). Он называл мнимые величины «чисто отрицательными» и «софистически отрицательными». Он считал их бесполезными и стремился не применять их.

Первым математиком, оценившим пользу мнимых величин, в частности при решении кубического уравнения в «неприводимом» случае, был Рафаэль Бомбелли (около 1526-1573), автор «Алгебры» (1572г.). Рассматривая кубические уравнения в том случае, когда , Бомбелли пишет, что разность по извлечении квадратного корня не может быть названа им плюсом, ни минусом; поэтому буду называть ее плюсом минуса, когда она должна прибавляться, а в тех случаях, когда она должна отниматься, я буду называть ее минусом минуса… корни этого рода покажутся многим скорее софистическими, чем имеющими действительное значение, такого же мнения держался и я до тех пор пока не нашел доказательства на линиях. Т.о., у него плюс минуса означает , а минус минуса означает .

Не исключено предположение, что эта терминология была просто специально придумана. Он сообщает восемь правил умножения мнимых и действительных чисел, закладывая тем самым первый камень фундамента истории комплексных чисел.

Решает ряд примеров на сложение, умножение и деление: , и другие более сложные.

Бомбелли пытается решить уравнение , где . Однако общего решения задачи он не получил. Все же путем проб он смог решить отдельные числовые примеры. Так, . Корень уравнения выражается по правилу Тартальи в виде .

Если положить , то возведение в куб и перемножение сопряженных величин дают уравнения , . Определим u, получим уравнение , где ; которое имеет действительный корень u или . Подбором определяет , отсюда . Таким образом, и . В общей форме проблема извлечения корней из комплексных чисел была решена А. де Муавром в первые десятилетия XVIII в.


^ Десятичные дроби и алгебраические обозначения Стевина

Широкое распространение десятичных дробей в Европе началось после выхода в свет «Десятой» фламандского математика Симона Стевина. (1548-1620). Определив десятичные дроби, он с большим пылом агитирует за повсеместное введение десятичных дробей, так и за введение десятичной системы мер и монет. Стевин обозначает целые знаком О, десятые – знаком 1, сотые – знаком 2 и т.д., причем цифры 0,1,2,… стоят над значащими цифрами или после них в кружках. Например 5,912 Стевин обозначал





^ Алгебра Франсуа Виета

Он создал новую символическую алгебру, изложенную во «Введении в аналитическое искусство». Необходимы, писал Виет, наглядные и всегда одинаковые символы, позволяющие отличать данные величины от неизвестных. Это нововведение и особенно применение буквенных коэффициентов положило начало коренному перелому в развитии алгебры: только теперь стало возможным алгебраическое исчисление как система формул, как оперативный алгоритм. Символику Виета применяли многие математики, в том числе П. Ферма, вплоть до середины XVII в. Символика Виета была громоздкой, в частности, неудобным было словесное обозначение степеней.

В «Дополнении к геометрии» (1593г.), кубическое уравнение записано в виде: «А cubus minus z duadrato ter in A aeguatur z cubo». Здесь слово ter означает «трижды», а aeguatur – «равняется»

Особый интерес имеет исследование вопроса об образовании уравнений с данными корнями примыкающего вопроса о зависимостях между корнями и коэффициентами уравнений.

В одном из своих трактатов Виет разработал метод приближенного решения алгебраических уравнений с числовыми коэффициентами. Он рассматривает двучленные уравнения , решение которых представляет собой извлечение корня. Для многочисленных уравнений, метод Виета является развитием метода извлечения корней, родственного тем методам, которые ранее применялись математиками Востока. Положительный корень уравнения ищется в форме , где -единицы, - десятки и т.д., значения вычисляются последовательно: например, для решения уравнения , Виет ищет неизвестную в форме и переписывает уравнение в виде



Первое приближение Виет находит, пренебрегая членами и ; далее, деля разность на сумму , т.е. пренебрегая членом и округляя частное, он находит , а деля разность на сумму и округляя частное, получает .

Например, при решении уравнения он находит ; деля разность 60750-41400=19350 на и округляя, он получает , а деля разность на и округляя, он находит , т.е. х=243. Метод Виета, несмотря на его громоздкость, применялся до самого конца XVII в., когда был вытеснен более простым и удобным методом Ньютона.

Алгебраические труды и открытия Виета сообщили новое направление алгебры и послужили основой, на которой смогли начать успешное развитие такие ведущие науки последующего периода, как аналитическая геометрия и исчисление бесконечно малых.

Рассмотрим еще одно замечательное открытие, а именно первое в Европе чисто аналитическое представление числа π в форме бесконечного произведения некоторых квадратных корней. Это открытие изложено в «Восьмой книге ответов на различные математические вопросы» (1593г.), остальные книги света не увидели.

Допустим, что в круг радиуса 1 вписан правильный n - угольник площади , и обозначим радиус круга, вписанного в этот прямоугольник, . Тогда ; в случае n=4 площадь . При n=4,8,16,… если перемножить возникающие при этом равенства , и т.д., и учитывая, что при имеет пределом площадь круга, мы получим

.

Вопрос о сходимости найденного бесконечного произведения Виет рассматривал.

Симметрические функции корней

Алгебраическое уравнение, имеющее корнями числа , образуется путем перемножения уравнений , , …, .

Из способа образования уравнений ясно, что коэффициент второго члена, взятый с обратным знаком, равен сумме всех корней с их собственными знаками, коэффициент третьего члена равен сумме произведений всех корней, взятых по два, коэффициент четвертого члена, взятый с обратным знаком, равен сумме произведений всех корней, взятых по три, коэффициент пятого равен сумме произведений всех корней, взятых по четыре, и т.д. до бесконечности.

Пусть и т.д. или же . Перемножим последовательно эти уравнения и образуем уравнения, аналогичные тому, что было сказано выше. Если умножить на , то получится уравнение , в котором коэффициент второго члена с обратным знаком, т.е. , есть сумма двух корней и , а коэффициент третьего члена равен единственному наличному их произведению. Если полученное уравнение умножить затем на , то получится кубическое уравнение:

, в котором коэффициент второго члена с обратным знаком, т.е. , есть сумма корней и ; коэффициент третьего члена есть сумма произведений корней, взятых по два: а и b, а и –с, b и –с, а коэффициент четвертого члена с обратным знаком - есть единственное наличное произведение, образуемое последовательным перемножением всех корней а на b, на –с.

б) степенные суммы корней.

Пусть коэффициенты членов какого-либо уравнения с обратными знаками обозначены т.е. коэффициент второго есть , третьего -, четвертого -, пятого - и т.д. Правильно соблюдая знаки членов, положите



и т.д. до бесконечности, следуя тому же порядку. Тогда а будет сумма корней, b – сумма квадратов каждого из корней, с – сумма кубов, d – сумма четвертых степеней, e – сумма пятых степеней, f – сумма шестых степеней и т.д. Например, в уравнении , в котором коэффициент второго члена есть -1, третьего -19, четвертого +49, пятого -30. Если положить, что то получим, что

Т.о., сумма корней есть 1, сумма квадратов корней есть 39, сумма кубов есть -89, а сумма четвертых степеней есть 723. Действительно, корни этого уравнения суть 1,2,3,-5 и их сумма 1+2+3-5 есть 1; сумма квадратов 1+4+9+25 есть 39, сумма кубов 1+8+27-125 есть -89, а сумма четвертых степеней 1+16+81+625 есть 723.

^ Отрицательные числа

Одной из важнейших особенностей европейской математики было систематическое пользование отрицательными числами.

Применение отрицательных чисел позволяет рассматривать вместо трех форм квадратных уравнений , , с положительными корнями единую форму, за которую можно принять любую из них. Такая единая трактовка различных форм квадратных уравнений, которой пользовался еще Брахмагупта, в Европе впервые встречается только в «Полной арифметике» М. Штифеля, который записывает все три вида этих уравнений в форме, равносильной современной записи , и описывает решение этого уравнения во всех трех случаях следующим образом: «Во первых, начни с числа неизвестного, раздели его пополам, поставь затем на его место эту половину и оставь ее там, пока ты не покончишь с всем. Во вторых, возведи эту половину в квадрат. В третьих, сложи либо вычти в зависимости от знака. В четвертых, теперь извлеки квадратный корень из полученной тобой после сложения суммы либо полученной после вычитания разности. В пятых, сложи либо вычти в зависимости от знака или условий твоего примера».

На различных примерах это правило применяется, так берется половина а, причем если а отрицательное, Штифель оперирует с отрицательным числом; эту половину, с одной стороны, сохраняют до последнего действия, а с другой стороны, возводят в квадрат. К этому квадрату прибавляют свободный член b, но поскольку сложение отрицательных чисел для Штифеля было еще новинкой, то формулируется правило отдельно для положительного и отрицательного b. Из полученной суммы извлекается квадратный корень, который складывается с половиной а с ее знаком.

По поводу отрицательных чисел Штифель говорит: «Ты видишь, конечно, что все это с первого взгляда очень похоже на самый пустой вздор, и, однако же, выполненные сообразно с этим алгебраические действия приводят к изображениям поистине удивительным. Но, чтобы не пропустить ничего из того, что относится к целостной системе арифметически, по мере своих сил я должен, как мне кажется, сказать в этой части о фиктивных числах ниже, чем ничего. Итак, подобно тому, как мы представляем себе различные корни чисел у чисел, не имеющих таких корней, и это представление оказывается в высшей степени полезным к математическим делам, так же не без пользы представляем себе и число ниже 0, т. е. ниже, чем ничего».

Как мы видим, Штифель подчеркивает аналогию между введением отрицательных и иррациональных чисел. Слова Штифеля «ниже, чем ничего» показывают, что он мысленно изображает положительные и отрицательные числа на вертикальной прямой (подобно делениям шкалы термометра). Геометрическое истолкование отрицательных чисел явилось решающим фактором для того, чтобы на них не перестали смотреть как на «фиктивные числа».

Геометрическое истолкование отрицательных чисел получило широкое распространение после появления аналитической геометрии, где положительные и отрицательные числа стали рассматриваться как координаты точек. Термины «положительный» и «отрицательный» видимо являются переводами арабских терминов «мусбат» и «манфи» самаркандского математика и астронома ал-Кушчи.

^ Теория перспективы

Перспективное изображение пространственных фигур, т.е. центральное проектирование этих фигур на плоскость, применялось еще древними греками в «скенографии» - искусстве писать сценические декорации. В этой области известны работы Леонардо да Винчи (1452-1519), Альбрехт Дюрер (1471-1528) – великие художники того времени. Это работы «Трактат о живописи» (Леонардо) и «О симметрии частей человеческих тел» (Альбрехт)

Заметим, что Дюрер занимался также составлением магических квадратов и, в частности составил первый в Европе магический квадрат:



Подведем итоги. Была введена позиционная десятичная арифметика. В это время была создана арифметическая и алгебраическая символика, отсутствие которой тормозило прогресс теории уравнений ранее. Введены были дробные и отрицательные показатели и отрицательные числа. Успешно решена проблема решения в радикалах уравнений 3-ей и 4–ой степеней. В связи с решением этой проблемы были формально введены мнимые числа. Виет построил алгебру как символическое исчисление, введя специальные буквенные обозначения для неизвестных и для коэффициентов многочленов, а также расширив символику алгебраических операций. В арифметику были введены десятичные дроби. Значительны были достижения плоской и сферической тригонометрии, были усовершенствованы методы вычисления таблиц.

Долгий период изучения постоянных величин подходил к завершению. Были созданы условия возникновения теории переменных величин, символической алгебры, аналитической геометрии, дифференциального и интегрированного исчислений.


Основная литература:

  1. Математическая энциклопедия. Книги 1-5. - М.: Советская энциклопедия, 1977-1985.

  2. Рыбников К.А. История математики. Уч.пособие для судентов математических специальностей университетов и пед.институтов. 2-е изд. -М.: Изд-во МГУ, 1974.

  3. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – Москва: Наука, 1969.

  4. Юшкевич А.П. История математики в средние века. - М.: Наука, 1961.

  5. История математики с древнейших времен до начала ХІХ столетия. В 3-х томах. Под.ред А.П.Юшкевича.-М.: Наука, 1970-1972.

  6. Нейгебауэр О. Точные науки в древности – М: Наука, 1968.


Дополнительная литература:

  1. Хрестоматия по истории математики. Под.ред. А.П.Юшкевича. – М.: Просвещение, 1976, 1977.

  2. Глейзер Г.И. История математики в средней школе в 3-х кн. .-М.: Просвещение, 1981-1983.

  3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника». - М.: Просвещение, 2002.

  4. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. – Москва: Наука, 1969.



Похожие:

Лекция 9 Тема : Математика в Европе в Средние века и в эпоху Возрождения iconТема 1: «Понятия «средние века», «феодализм». Основное содержание истории средневековой цивилизации. Хронология и периодизация эпохи
Цель занятия. Раскрыть содержание понятий «средние века», «феодализм», определяющих главное содержание учебного курса «истории средних...
Лекция 9 Тема : Математика в Европе в Средние века и в эпоху Возрождения iconТема: Образование, наука и философия в эпоху расцвета Cредневековья
Цель: познакомить с развитием образования в Европе XI xiii вв., сформировать представление о наиболее ярких философах изучаемого...
Лекция 9 Тема : Математика в Европе в Средние века и в эпоху Возрождения iconЛекция №10. Тема: исламская цивилизация в средние века
Жители этих областей выращивали зерно, виноград, финики, пряности, разводили овец и верблюдов. Здесь располагались древние города,...
Лекция 9 Тема : Математика в Европе в Средние века и в эпоху Возрождения iconВитебском. Во время экскурсии Вы посетите возрожденную церковь Благовещения XII века — единственный в Восточной Европе памятник византийско-балканского зодчества, католический костел Св.
Благовещения XII века — единственный в Восточной Европе памятник византийско-балканского зодчества, католический костел Св. Варвары,...
Лекция 9 Тема : Математика в Европе в Средние века и в эпоху Возрождения iconУрок в 7 классе. Тема: Изобразительное искусство эпохи Возрождения
Возрождения стран Западной Европы; развивать умение анализировать произведения изобразительного искусства, отмечая особенности композиции,...
Лекция 9 Тема : Математика в Европе в Средние века и в эпоху Возрождения iconКонспект урока Тема урока : Начало Реформации в Европе. Обновление Христианства
Цель урока: Ознакомление учащихся с процессами происходящими в христианской церкви в 16 в в Европе
Лекция 9 Тема : Математика в Европе в Средние века и в эпоху Возрождения iconЛекция №4 тема: Философская мысль Средневековья и Возрождения
Христианство и философия Средневековья (теолого-философские принципы патристики)
Лекция 9 Тема : Математика в Европе в Средние века и в эпоху Возрождения iconРеферат бухгалтерский учет в средние века. Развитие стоимостной парадигмы
Возникновение бухгалтерской профессии и специальной литературы вот главные аспекты в учете того далекого времени
Лекция 9 Тема : Математика в Европе в Средние века и в эпоху Возрождения icon«Философия» фогп 3 кредита 3 семестр Семинар №4 «Средневековая европейская философия» Асcоц проф. Джаныкулова С. К. 2007/08 уч год
Эпоха Средневековья обычно условно определяется как время от захвата Рима варварами в 476 г до начала эпохи Возрождения, т е в Италии...
Лекция 9 Тема : Математика в Европе в Средние века и в эпоху Возрождения iconВ рамках проекта "Работай головой"
Постоянные издержки фирмы (FC) составляют 10 000 ден. Ед в месяц. Если переменные издержки (VC) составляют 20 000 ден ед и фирма...
Разместите ссылку на наш сайт:
Уроки, сочинения


База данных защищена авторским правом ©izlov.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
связаться с нами