24. Первообразная. Неопределенный интеграл icon

24. Первообразная. Неопределенный интеграл



Название24. Первообразная. Неопределенный интеграл
Дата17.10.2016
Размер
ТипУроки, сочинения

24.Первообразная. Неопределенный интеграл.

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f (х) необходимо найти ее производную. Интегральное исчисление решает обратную задачу, т.е. необходимо найти функции F (х) , зная ее производную f (х). Искомую функцию F(х) называют первообразной функции f(х)

f (х) F(х)'=f(х)

Функция F(х) называется первообразной функции f(х) на интервале (а, в), если для любого х с (а, в) выполняется равенство:

dF(х) = dх.

Множество всех первообразных функций F (х)+С для функции f(х) называется неопределенным интегралом от функции f(х) и обозначается:


∫f(х)dх = F(х)+С


25.Свойство неопределенного интеграла.

Отметим ряд свойств неопределенного интеграла вытекающих из его определения:

  1. (∫f(x) dx)'= f(x)

  2. ∫d(F(x)) = F(x) +C

  3. ∫cf(x)dx = c ∫f(x)dx±∫g(x)dx

  4. ∫(f(x)±g(x)= ∫ f(x)dx±∫g(x)dx.

^ 3.Методы интегрирования неопределенного интеграла (непосредственные методы замены переменной)

Метод подстановки. Если у нас имеется интеграл вида ∫f(φ(x)) φ'(x)dx, то во многих случаях данный интеграл сводится к более простому виду путем введения новой переменной.

t=φ(x)

dt= d(φ(x))-φ'(x)dx

∫f(φ(x)) φ'(x)dx=∫f(t)dt

Затем, находя неопределенный интеграл от правой части выражения производится обратная замена переменного t на( x


^ 27.Методы интегрирования неопределенного интеграла( непосредственное интегрирование по частям).

∫udv= uv-∫vdu- эта формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисления интеграла udv к ∫vdu, который может оказаться существенно легче. Интегрирования по частям состоит в том, что подинтегральное выражение заданного интеграла представляет каким-либо образом в виде произведения 2-х самножителей udv, затем после нахождения vdu используется формула интегрирования по частям, иногда эту формулу приходится использовать несколько раз.


^ 28. Определенный интеграл.

Если функция у=f(x) для которой на отрезке (а;в) существует определенный интеграл называемое интегрированием на этом отрезке.

Теорема1. (Каши)

Если функция у=f(x) непрерывно на отрезке (а;в), то определенный интеграл от а,в,f(x)dx существуют.

^ 30.Основные свойства определенного интеграла.

  1. вас-f(x)dx = c∫ва f(x)dx, с- конст.

  2. ваf1(x)±f2(x))dx = ∫ваf1(x)dx±∫ваf2'(x)dx

  3. ваf(x)dx= - ∫ваf(x)dx

  4. Если функция f(x) интегрируема на отрезке (а;в) и с находится между а и в, тогда интеграл:

ваf(x)dx=∫са f(x)dx + ∫всf(x)dx

5)Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке а и в, то интеграл от а до в f(x)dx имеет тот же знак что и функция

6)Неравенство между непрерывными функциями на отрезке а,в можно интегрировать

F1≤f2(x)? x=а,в

ваf1(x)dx≤∫ваf2(x)dx

7) Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подинтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменяется:

(∫xaf(t)dt)'x=f(x).

^ 7. Замена переменной интегрирования определенных интегралов.

ваf(x)dx= ∫βLf(φ(t))φ'(t)dt- Эта формула называется формулой заменой переменной в определенном интеграле. Отметим что:

1)при вычислении определенного интеграла методом подстановки, возвращаться к старой переменной не требуется;

2)часто вместо подстановки x=φ(t) применяют подстановку t=g(x);

3)не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.

^ 8.Интегрирвания по частям в определенном интеграле.

ваudv= uv/ва- ∫ваvdu- Эта формула есть формула интегрирования по частям в определенном интеграле

u=u(x)

v=v(x) и функция u=u(x) и v=v(x) непрерывны на отрезке а;в.

9.Формулы Ньютона- Лейбница.

10. Геометрическое приложение определенного интеграла.


12)несобственные интегралы первого рода

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке , если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом собственного рода и обозначают . В этом случае говорят, что интеграл сходится, если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят что интегралы расходятся. Аналогично определяется несобственный интеграл вида , ,

13) несобственные интегралы второго рода.

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [а; в) и имеет бесконечный разрыв при х = в. Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом 2-го рода, и обозначают . Если данный предел существует, то несобственный интеграл сходится, если же его не существует то интеграл расходится.

Ели функция f( x ) терпит разрыв во внутренней точке С отрезка [a, b], то несобственный интеграл 2-го рода определяется формулой .


^ 15) Частные производные.

В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных. Для функции от n переменных, частная производная по Xk в точке есть обычная производная функции одной переменной получающейся из функции f, если мы зафиксируем в ней все аргументы, кроме Xk.

В явном виде частная производная функции f определяется следующим образом:


.


^ 16) Дифференцируемость функций двух переменных, необходимые условия.

Функция f(x)= называется дифференцируемой в точке. x0, если . Достаточное условие: наличие и непрерывность частных производных. Используем формулу конечных приращений. Обозначим:

. Тогда существует конечный предел . Получаем требуемое в определении представление.


^ 20) Экстремум функции двух переменных. Необходимое условие экстремума.

Функция z = (x y) имеет максимум в точке если для любой точки m(x y) находятся в некоторых окрестностях точки выполняется условие max и min функции называются экстремумами, а точка с координатами экстрем-ой точкой.

Если z = z(x y) дифф-ая функция и достигает в точке с координатами экстремума, то её частные производные 1-го порядка в этой точке равны 0.



Точки в которых частные производные 1-го порядка обращаются в 0 или не существуют , называются критическими.

21) Достаточные условия экстремума функции двух переменных.

Пусть стационарная точка функции z = z(x y). Для её исследования сначала вычисляют частные производные 2-го порядка в точке .

; ; ;


1) то в точке точка существует

А<0 – max A>0 – min, при A= 0 C<0 – max C>0 – min

2) ∆<0 – экстремум не существует

3) ∆=0 , в этом случае требуется доп. исследование.


19)Свойства числовых рядов.

Свойство1


Если ряд сходится и его сумма равна S, то и ряд также сходится и его сумма равна С*S


Свойство 2.

Если ряды и сходятся, и их суммы соответственно равны и ,то и ряд также сходится и его сумма равна

Свойство3.

Отбрасывание или добавление конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходимость.


42)Необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд сходится то его общий член стремится к 0.




Похожие:

24. Первообразная. Неопределенный интеграл iconЛекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно...
24. Первообразная. Неопределенный интеграл iconНеопределенный интеграл. Примеры решений
Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом Неопределенный...
24. Первообразная. Неопределенный интеграл iconИнтегральное исчисление первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла
В интегральном исчислении решается обратная задача: для заданной функции f (X) требуется найти такую функцию f (X), для которой f...
24. Первообразная. Неопределенный интеграл iconНеопределенный интеграл. Подробные примеры решений
На данном уроке мы начнем изучение темы Неопределенный интеграл, а также подробно разберем примеры решений простейших (и не совсем)...
24. Первообразная. Неопределенный интеграл iconТема 1 Неопределенный интеграл
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала функции. В интегральном исчислении...
24. Первообразная. Неопределенный интеграл iconТема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования
Для всякой математической операции прямого действия всегда существует операция обратного действия. Сложение и вычитание, умножение...
24. Первообразная. Неопределенный интеграл iconI. Неопределенный интеграл
На основании формулы при этом решается задача нахождения дифференциала функции. Рассмотрим теперь обратные операции, осуществляющие...
24. Первообразная. Неопределенный интеграл icon§ поверхностный интеграл I рода (по площади поверхности)
Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла, каким криволинейный интеграл I рода является...
24. Первообразная. Неопределенный интеграл iconКонспект по датам. Лекция 1: 10 февраля Глава Неопределённый интеграл опр и свойства
Определение первообразной, Свойства: что F+C тоже перв. (Док-ть), что разность двух первообр = C. Определение неопр интеграла. Свойства...
24. Первообразная. Неопределенный интеграл iconОпределенный интеграл. Примеры решений
И снова здравствуйте. На данном уроке мы подробно разберем такую замечательную вещь, как определенный интеграл. На этот раз вступление...
Разместите ссылку на наш сайт:
Уроки, сочинения


База данных защищена авторским правом ©izlov.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
связаться с нами