Тема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования icon

Тема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования



НазваниеТема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования
Дата17.10.2016
Размер
ТипУроки, сочинения

Тема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования.


Первообразная функции.

Для всякой математической операции прямого действия всегда существует операция обратного действия. Сложение и вычитание, умножение и деление, логарифмирование и потенцирование, дифференцирование и интегрирование.

Прямая задача : дана функция f(x) , найти производную f’(x)

Обратная задача: дана производная f’(x) , восстановить функцию f(x)

Опр. Первообразной от функции f(x) наз. другая функция F(x), производная от которой равна f(x)

F’(x) = f(x) ( 1 ) или dF(x) = f(x) dx ( 2 )


Знак d (оператор) означает, что над функцией F(x) производится операция вычисления дифференциала. Знак обратной операции, для перехода от F’(x) к F(x), имеет вид , а сама операция отыскания первообразной функции наз. интегрированием.


Пр. F(x) = 2x2 является первообразной функции f(x) = 4x . Действительно,

F’(x) = (2x2)’ = 4x = f(x). Функции 2x2 + 6 , 2x2 + 8 , 2x2 + const также являются первообразными для . Общее свойство: Первообразная любой функции определяется с точностью до константы.

^ Опр. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех её первообразных

dF(x) = f(x) dx = F(x) + C ( 3 )


Знаки прямой и обратной операций d ивзаимно уничтожают друг друга. Здесь f(x) – подынтегральная функция, f(x) dx - подынтегральное выражение, x - переменная интегрирования, - символ неопределённого интеграла , C - постоянная интегрирования.

График первообразной функции y = F(x) наз. интегральной кривой. Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых, полученных при их параллельном переносе вдоль оси Оу.

^ Проинтегрировать функцию значит определить вид другой функции, производная от которой дает исходную функцию.


Табличные интегралы.

Таблицу формул дифференцирования можно представить в следующем виде, если переписать её в обратном порядке.


1. xn dx = + C (n  -1) ; 10. ctg x dx = ln|sin x| + C;

2. = ln |x| + C; 11. = arcsin ()+C = - arccos () +C;

3.ex dx = ex + C; 12. = ln|x+| + C;

4.ax dx = + C; 13. = () arctg ()+ C;

5.cos x dx = sin x + C; 14. = ln|| + C;

6.sin x dx = - cos x + C; 15.ch x dx = sh x + C;

7. = tg x + C; 16. sh x dx = ch x + C;

8. = - ctg x + C; 17. = th x + C;

9.tg x dx = - ln|cos x|+ C; 18. = - cth x + C.


Основные свойства неопределенного интеграла.


10. (f(x) dx)’ = f(x) , т.к. (F(x) + C)’ = F’(x) = f(x)

Производная от интеграла равна подынтегральной функции.

20. d (f(x) dx) = (f(x) dx)’dx = f(x) dx

Дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению

30. d F(x) = F’(x) dx = f(x) dx = F(x) + C

Интеграл от дифференциала функции дает функцию плюс константа.

40. a f(x) dx = af(x) dx , т.к. d (a F(x)) = a dF(x)

Постоянный множитель выносится за знак интеграла.

50. [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx , т.к. производные совпадают.

Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.


60. ^ Инвариантность формы неопределенного интеграла : Переменную интегрирования х можно заменить в интеграле на произвольную дифференцируемую функциюu=u(x), т.е.

если f(x) dx = F(x) + C (а) , то f(u(x)) du(x) = F(u(x)) + C (б) .

Док-во. Заменим х на u(x) в первообразной F(x). Получаем сложную функцию F(u(x)). Её дифференциал обладает свойством инвариантности формы :

d [F(u(x))] = F`x dx = F`udu , т.е. приращение функции dF получаем в результате изменения либо dx, либо du . Проинтегрируем это равенство dF(u) =F`udu и оно превращается в интеграл (б) :f(u) du = F(u) + C . Следствие. интегрирование сложной функции по переменной х можно заменить на интегрирование по сложному аргументу u(x). В этом случае в интегрировании участвует только внешняя функция и процедура интегрирования упрощается.


Пр. esin x cos x dx = esin x d(sin x) = eu du = eu + C = esin x + C , ( u = sin x)


Основные методы интегрирования неопределённого интеграла

Непосредственное интегрирование.


В наиболее простых случаях после некоторых преобразований функции интеграл удается свести к набору табличных интегралов или представить подынтегральное выражение как дифференциал некоторой функции, например, dx = 1/a d(ax + b),

x2 dx = 1/3 d(x3) , cos 2x dx = d(sin 2x /2) , 1/x dx = d(ln x) . Такой прием интегрирования наз. непосредственным.


(3x2 – cos x + 6 /x )dx = 3x2 dx - cos x dx + 6dx/x = x3 – sin x + 6 ln x + C

= = 2(3/8)x8/3 - 3 x-3/(-3) + 5 ln x + C

cos 2x dx = d (sin 2x / 2) = (sin 2x / 2) + C


Пр. tg2x dx , , , 2x(1 + 3 x2 2-x) dx


Метод замены переменных.


Всякую подынтегральную функцию f(x) можно представить как сложную, если ввести новую переменную интегрирования t , а также прямую и обратную зависимости x = g(t), t = g-1(x) h(x), тогда

f(x) dx = f[g(t)] g`(t) dt = F(t) + C = F(h(x)) + C.

Вспомогательный интеграл по новой переменной t может оказаться более простым для вычисления. После его вычисления делаем обратную замену t = h(x) и получаем решение для исходного интеграла.

Пр.esin x cos x dx = {пусть t = sin x , тогда dt = (sin x)`x = cos x dx} =

= etdt = et + C = esin x + C. Проверка: (esin x + C)` = esin x cos x

Замена переменных происходит по правилу: из равенства двух величин (t = sin x) следует равенство их дифференциалов (dt = d(sin x)), т.е. приращений; дифференциал функции равен её производной умноженной на дифференциал аргумента

( d(sin x) = (sin x)`dx = cos x dx ).

Основной метод вычисления интегралов – поиск подходящей замены переменных и сведение их к табличным интегралам. Каждому типу функций соответствует свой вид замены переменных и их надо знать.

Линейная замена : t = ax + b. Пр. e3x dx , , sin (a – b x) dx

Общее правило: если f(x) dx = F(x) + C , тоf(ax + b) dx = (1/a) F(ax + b) + C, ( 4 )

Метод подведения под знак дифференциала ( 5 )


В некоторых случаях в подынтегральном выражении простой множитель перед dx можно рассматривать как производную от некоторой функции u(x), но u`(x)dx = du(x) и тогда переменной интегрирования оказывается функция u(x). Если и остальную часть подынтегрального выражения представить как функцию от u(x), то переходим к новой переменной интегрирования.


Пр. , , ,


Случай f(x) = u`(x)/u(x). dx = ln u(x) + C ( 6 )

Если числитель подынтегральной функции равен или пропорционален производной от знаменателя, то интеграл равен логарифму знаменателя.


Пр. x dx /(x2 + 1) = ½ d(x2 + 1) / (x2 + 1) = ½ ln |x2 + 1| + C

tg x dx , ctg x dx , ,


Интегрирование по частям.


Пусть u = u(x) , v = v(x) - непрерывные функции, тогда d(uv) = udv + vdu .

Проинтегрируем это равенство и получим формулу интегрирования по частям.

u dv = uv + v du ( 7 )

Она позволяет вычисление интеграла u dv заменить на вычисление интеграла v du .

Применение:

пусть f(x) = P(x)A(x) , где P(x) = a xn + b xn-1 + . . .+ c , A(x) - функция другого типа.

Если A(x) = ekx, ax, sin kx, cos kx, то u = P(x) , dv = A(x) dx

Если A(x) = loga x , arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x, то u = A(x) , dv = P(x) dx

Пр. x cos x dx = {u = x, du = dx, dv = cos x dx, v = sin x} = x sin x - sin x dx =

= x sin x + cos x + C. Проверка: ( x sin x + cos x + C )` = x cos x


ln x dx , x ln(x – 1) dx , x e2x dx , x2cos x dx , ex sin x dx , arcsin x dx


Рациональные алгебраические дроби.

Основная теорема алгебры :

Pn(x) = xn + an–1xn+1 + an-2xn+2 + . . . + a0 = (x - 1) (x - 2) . . . (x - n)

{ Пр. ax2 + bx + c = a(x –x1)(x – x2) }


Полином n – ой степени всегда можно представить как произведение n двучленов

(x - i), где i - корни полинома. Корни могут быть действительными числами, комплексными числами, кратными. Комплексные корни входят сопряженными парами

= a + ib , * = a - ib и произведение

(x - )(x - *) = (x – a – ib)(x – a + ib) = (x – a)2 + b2 = x2 + px + q ,

где D < 0 , включает только действительные числа. В общем случае

Pn(x) = (x - 1)k1(x - 2)k2 . . . (x2 + p1x + q1)r1 . . . , где k1+k2+. . .+2(r1+r2 . . . ) = n .


Рациональная алгебраическая дробь наз. правильной, если n < m.Если n > m, то из дроби выделяют целую часть и остаток в виде правильной дроби

= , где k < m

Выделение целой части: 1) - метод добавления числа

2) деление полиномов уголком = (x + 6) +


^ Простейшие дроби: , , , , где D < 0

Интегрирование простейших дробей:

1) J1 = dx = A = A ln (x – a ) + C

2) J2 = dx = B = B  = B + C

3) J3 = dx , D < 0 . Алгоритм решения:

1. трехчлен приводят к полному квадрату x2+px+q = (x+p/2)2 + (q–p2/4);

2. замена переменных t = x + p/2 ; 3. переход к сумме двух интегралов вида

Ja = = = , Jb = =

  1. J4 = dx . Повторим алгоритм решения и придем к интегралам

J `a == , J `b = . Если применить к интегралу Jb интегрирование по частям, то получим =

Пр. J = ; D = -36 < 0 ,


Решение: 1) x2 + 2x + 10 = x2 + 2x + 1 + 9 = (x + 1)2 + 32 ;

2) пусть t = x + 1 , тогда x = t – 1, dx = dt , x2 + 2x + 10 = t2 + 32 ,

3) J = = + 2 = 3/2 ln|t2 + 32| + 2/3 arctg t/3 + C

= 3/2 ln| x2 + 2x + 10| + 2/3 arctg (x – 1)/3 + C

Пр. J = = =

= = + 2 = 3/2 ln|t2 + 32| + 2/3 arctg t/3 + C


Разложение дроби на простейшие.


А) Корни знаменателя алгебраической дроби - действительные числа.

Тогда он разлагается на произведение только двучленов Rm(x) = (x - 1)(x - 2)2(x - 3)3 . . и дробь можно представить как сумму m простейших дробей.

Однократному корню соответствует одна дробь . Двукратному - две дроби :

+ . Трехкратному - три дроби : + +

= + + + + + + . . .

Действительно, сложение простейших дробей приведет к общему знаменателю Rm(x) , а в числителе образуется некоторый полином Tn(x). При определенных значениях коэффициентов А, Bi, Ci Tn(x) = Pn(x) . Такое разложение дроби на сумму простейших дробей наз. методом неопределенных коэффициентов.


Вычисление коэффициентов.

1 способ. Приравняем коэффициенты в Tn(x) и Pn(x) при одинаковых степенях х , получим полную систему n линейных уравнений, решение системы дает А, Bi, Ci

Пр.2.

x1 | A + B = 2  A = -5

x0 | -2A – B = 3  B = 7

2 способ. В уравнении Tn(x) = Pn(x) последовательно заменяем х на i и сразу получаем значения коэффициентов.

В Пр.2.

пусть х = 1 , тогда 5 = - A  A = -5

пусть х = 2 , тогда 7 = B  B = 7


Б) ^ Корни знаменателя алгебраической дроби - сопряженные комплексные числа.

Тогда он разлагается на произведение трехчленов x2+px+q , где D < 0 , и дробь можно представить как сумму простейших дробей. Однократному трехчлену соответствует одна дробь . Двукратному - две дроби : + .

Пр.3.

x2 | A + M = 0 ; x1 | N – M = 2 ; x0 | 4A - N = 1  A = 3/5 ; M = -3/5 ; N = 7/5 .


Интегрирование тригонометрических функций.


Интегралы типа sinmx cosnx dx , где m или n НЕчетное число ( 8 )

Используем метод подведения функции под знак дифференциала


sin2m x cos2n+1 x dx = sin2m x cos2n x cos x dx= sin2m x cos2n x d(sin x) =

= sin2m x (1 – sin2x)n d(sin x) = u2m(1 – u2)n du

Пр. = = - = -

sin3x dx =sin2x sin x dx = -(1-cos2x)d(cos x) = -(1–t2)dt = -cos x + cos3x/3 +C

sin2x cos x dx ,

Интегралы типа sinmx cosnx dx , где m и n четные числа ( 9 )

Метод понижения степени по формулам


sin2x = ½ (1 – cos 2x) ; cos2x = ½ (1 + cos 2x) ; sin x cos x = ½ sin 2x

или замена tg x = t (см. ниже)


Пр. sin2x dx = ½ (1 – cos 2x) dx = ½ dx - ¼ cos 2x d(2x) = x/2 - ¼ sin 2x +C

sin2x cos2x dx , cos4x dx

Интегралы типа sin ax cos bx dx по формулам ( 10 )


sin a cos b = ½[sin(a+b) + sin(a-b)] ; cos a cos b = ½[cos(a+b) + cos(a-b)]

sin a sin b = ½[cos(a-b) – cos(a+b)]

Пр. sin 3x cos x dx = ½ (sin 4x + sin 2x)dx = -1/8 cos 4x - ¼ cos 2x + C

sin 5x cos 3x dx


Интегралы типа R(tg(x), sin2n x, cos2mx) dx Замена tg x = t , тогда ( 11 )

= (1 + tg2x) dx = dt dx = dt/(1+t2), x = arctg t

cos2x = =, sin2x = (1 – cos2x) =

Пр. tg3x dx = t3/ (1+t2) dt = (t3 + t – t)/ (1+t2) dt = t dt - t/(1+t2) dt =

= t2/2 - ½ d(1+t2)/ (1+t2) = ½ tg2x – ½ ln |1+tg2x| + C

Пр. = = (t -4 + t –2 ) dt = - (tg x)-3 /3 - (tg x) –1 + C


Универсальная замена tg x/2 = t в интегралах R(sin x,cos x) dx удобна, когда sin x , cos x входят в R( ) в 1-ой степени, тогда sin x =, cos x =, dx =

и приходим к интегралу от рациональной алгебраической дроби.

{ sin x = 2sin x/2 cos x/2 = 2cos2x/2 = ; ( 12 )

cos x = cos2x/2 – sin2x/2 = cos2x/2 ( 1 - ) = cos2x/2 ( 1 – t2) = }

Пр. = { 1 + sin x = 1 + = } = 2 =

= 2 = 2 = + C


;


Интегрирование иррациональных функций.


Опр. Функция наз. иррациональной, если она содержит аргумент, различные корни из аргумента и выражения с аргументом.

Пр. ,

Интегралы типа R( x, , , . . .) dx ( 13 )

Для всех показателей корней найдем НОК ( k1, k2, . . . , km ) = n , тогда все n/ki - целые числа и подстановка x = tn исключит все корни.

Пр. J = = { НОК(2,3) = 6, пусть x = t6 , тогда dx = 6t5dt , t = x1/6 } =

= = 6= 6=

= 6( t3/3 - t2/2 + t ) – 6 ln |t + 1| + C = 2 x1/2 - 3 x1/3 + 6 x1/6- 6 ln | 1 + x1/6 | + C


Линейная иррациональность R( x, , , . . . ) dx ( 14 )

Находим НОК(k1, k2, . . ) = n, подстановка ax + b = tn, тогда dx = (n/a)tn – 1dt , x =(tn – b)/a и функция становится рациональной.

Пр. J = = { НОК(1,2) = 2, пусть 3 – x = t2 , тогда dx = - 2 tdt , x = 3 – t2 }= = - 2 = -6 t3/3 + 2 t5/5 + C = -2 (3 – x)1/2 + 2/5 (3 – x)5/2 + C

;


Дробно-линейная иррациональность R( x, , , . . . ) dx ( 15 )

Находим НОК(k1, k2, . . ) = n, делаем подстановку = tn, функция становится рациональной.

Пр. J = = { пусть = t2 , тогда x = , dx = } =

= 2;  A = B = D = ¼, C = - ¼ ;

J = ¼ { ln| t –1 | - ln| t+1 | - (t – 1)-1 – (t + 1)-1 } + C

Интегралы типа R(xm, ) xm -1 dx ( 16 )

Наличие элемента xm – 1dx позволяет подвести функцию axm+ b под знак дифференциала xm-1dx=(1/mа)d(axm + b), а замена axm+ b= tn избавляет от иррациональности. Тогда xm-1dx = n tn-1dt/am и все xm = (tn - b)/a .

Пр. J = = { пусть 2x2+1 = t3, тогда xdx = ¾ t2 dt , x2 = ½(t3-1) } =

= ¾ ½(t3-1)t2 dt/t = 3/40 t5 – 3/16 t2 + C

Квадратичные иррациональности. Тригонометрические подстановки. ( 17 )


А) R( x, ) dx ; Б) R( x, ) dx ; В) R( x,) dx

т.е. под корень входит х2 .


А) : замена x = a sin t  a2 – x2 = a2 (1 – sin2 t ) = a2 cos2t , = a cos t

t = arcsin (x/a) , dx = a cos t dt


Б) : замена x = a tg t  a2 + x2 = a2 ( 1 + tg2 t) = a2 / cos2t , = a / cos t

t = arctg (x/a) , dx = a dt / cos2 t


В) : замена x = a / cos t  x2 – a2 = a2 (1 / cos2 t – 1 ) = a2 tg2t ,= a tg t

t = arcos (a/x) , dx = - a sin t dt / cos2 t


Пр. J = = { пусть x = 2 sin t , тогда dx = 2 cos t dt, = 2 cos t }=

= - ctg t - t + C = - ctg (arcsin(x/2)) - arcsin(x/2) + C


Пр. J = = { пусть x = 2 tg t, тогда dx = 2 dt / cos2 t, = 2/cos t }=

= 8 - 8 8/3 cos-3 t + C = 8/3 cos-3(arctg(x/2))+ C


Пр. J = = { пусть , тогда , = 2 tg t } =

= - = - ½ = - ¼ = - ¼ ( t - ) + C =

= - ¼ [ arcos (2/x) + ½ sin (2(arcos(2/x))) ] + C


Квадратичные иррациональности. Общий случай. ( 18 )


Интегралы типа R( x, ) dx Необходимо:

  1. Привести трехчлен к полному квадрату : ax2 + bx + c = a[ x2 + px + q ] =

= a[ x2 + 2x(p/2) + (p/2)2 - (p/2)2 + q] = a [ (x + p/2)2 + (q – p2/4) ] , где p = b/a, q = c/a. 2) Замена переменных: пусть x + p/2 = z , тогда ax2 + bx + c = |a|{ z2 + (q – p2/4)}

и переходим к одному из трех случаев: А), Б), В)

Пр. J = = { x2 + 2x –3 = (x +1)2 – 4 = t2- 22, где t = x +1, тогда dx = dt }

= = { (В): пусть , тогда , } =

= -4 = -4;+

 A = B = D = ¼, C = - ¼ ; J = - { ln + 2 }+ C , где z = arccos.



Похожие:

Тема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования iconНеопределенный интеграл. Примеры решений
Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом Неопределенный...
Тема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования iconКонспект по датам. Лекция 1: 10 февраля Глава Неопределённый интеграл опр и свойства
Определение первообразной, Свойства: что F+C тоже перв. (Док-ть), что разность двух первообр = C. Определение неопр интеграла. Свойства...
Тема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования iconНеопределенный интеграл. Подробные примеры решений
На данном уроке мы начнем изучение темы Неопределенный интеграл, а также подробно разберем примеры решений простейших (и не совсем)...
Тема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования iconИнтегральное исчисление первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла
В интегральном исчислении решается обратная задача: для заданной функции f (X) требуется найти такую функцию f (X), для которой f...
Тема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования iconТема 1 Неопределенный интеграл
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала функции. В интегральном исчислении...
Тема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования iconЛекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно...
Тема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования icon1. Основные свойства > 1 Основные свойства сегнетокерамики вк
Одно из актуальных направлений электроники — миниатюризация аппаратуры. Наряду с уменьшением габаритов аппаратуры ставится задача...
Тема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования iconI. Неопределенный интеграл
На основании формулы при этом решается задача нахождения дифференциала функции. Рассмотрим теперь обратные операции, осуществляющие...
Тема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования iconПроцессы возбуждения и торможения в цнс. Основные принципы интегративной деятельности цнс (свойства нервных центров)
Свойства нервных центров, основанные на центральном возбуждении и его распространение
Тема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования icon§ поверхностный интеграл I рода (по площади поверхности)
Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла, каким криволинейный интеграл I рода является...
Разместите ссылку на наш сайт:
Уроки, сочинения


База данных защищена авторским правом ©izlov.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
связаться с нами