I. Неопределенный интеграл icon

I. Неопределенный интеграл



НазваниеI. Неопределенный интеграл
Дата17.10.2016
Размер
ТипУроки, сочинения




I. Неопределенный интеграл


В курсе дифференциального исчисления рассматривалась операция дифференцирования как операция перехода от функции к функции , где ? производная. На основании формулы при этом решается задача нахождения дифференциала функции . Рассмотрим теперь обратные операции, осуществляющие переход от функции к функции и от дифференциала к функции .

Определение 1. Пусть функция определена на некотором конечном или бесконечном промежутке числовой оси . Функция , определенная на этом же промежутке, называется первообразной функцией (или просто первообразной) функции на , если:

  1. непрерывна на ;

2) во всех внутренних точках промежутка функция имеет производную , а дифференциальное выражение служит для дифференциалом, т. е. .

Соотношение определяет неоднозначно. Так, например, равенство показывает, что является первообразной функции . В то же время справедливо равенство , из которого следует, что является первообразной той же самой функции . При этом первообразные и отличаются на постоянную:

.

Это свойство первообразных можно доказать и в общем случае:

Т е о р е м а. Пусть и ? первообразные для на . Тогда найдется постоянная , такая, что всюду на этом интервале .

Определение 2. Совокупность всех первообразных функции , определенных на некотором промежутке , называется неопределенным интегралом от на этом промежутке и обозначается через .

Символ называется знаком интеграла, ? подынтегральной функцией. Интервал обычно является интервалом непрерывности функции и поэтому при записи неопределенного интеграла не указывается. Из приведенной теоремы и определения 2 следует, что функции из совокупности функций отличаются друг от друга на постоянную. Поэтому, если ? какая-либо первообразная, то можно записать равенство , где постоянная пробегает множество действительных чисел. Таким образом, фигурные скобки обозначают совокупность функций. Для краткости записи фигурные скобки опускают и пишут .

Выше мы определили неопределенный интеграл от функции . Теперь определим неопределенный интеграл от дифференциала.

Определение 3. Неопределенным интегралом от дифференциала на промежутке называется совокупность всех первообразных для функции на этом промежутке. Он, как и неопределенный интеграл от функции, обозначается символом .

Если на , то по свойству дифференциала последний под знаком интеграла можно записать в одном из следующих видов: .

Неопределенный интеграл от дифференциала и неопределенный интеграл от функции задают одну и ту же совокупность функций. Поэтому оставим для них общее обозначение . Из контекста будет ясно, о каком из неопределенных интегралов идет речь. Переменная указывает, от какой переменой зависит соответствующая совокупность первообразных, поэтому .

Нахождение первообразной или вычисление неопределенного интеграла в основном состоит в преобразовании подынтегрального выражения таким образом, чтобы получить следующие табличные интегралы:

; ); ;

; ;

; ;

; ;

;

; ;

; ;

;

.

Эти формулы проверяются непосредственным дифференцированием. Справедливы также следующие правила вычисления неопределенных интегралов:

  1. ;

  2. .

При вычислении неопределенных интегралов от дифференциалов оказываются полезными следующие равенства:


Для каждой из формул ясно, на каком промежутке она справедлива.

Непосредственным вычислением можно проверить, что

. Поэтому для случая интеграла от дифференциала справедливо:

3) .

Пример

. .

Обозначение часто опускают, когда ясно, о каком идет речь. Так, например:

.

.

При сведении интегралов к табличным иногда используются такие тождества:

,

, .

Пример

.

.

.

Для дифференциала в случае непрерывно дифференцируемых функций и имеет место равенство . С помощью этого равенства можно установить важное для непосредственного интегрирования правило интегрирования по частям:

или, что все равно, . При использовании этой формулы приходим к интегралу который оказывается проще, чем . Этот метод интегрирования применяется, когда под интегралом стоит произведение разнородных функций, например и , и , и , и и т. д.

Пример.

.

Здесь обозначили

и вычислили .

Формулу интегрирования по частям иногда приходится применять несколько раз, например:

.

Второе правило ? правило замены переменной. Оно задается формулой

, где ? дифференцируемая функция от . Функция подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более удобный вид для интегрирования. Выбор ее определяется конкретным видом подынтегрального выражения.

Пример.

Для интегралов вида , где ? рациональная функция своих аргументов, используется замена: ? общий знаменатель дробей .

.

При вычислении этого интеграла сделана замена .

Пример

Рассмотрим интегралы вида , где ? постоянные, отличные от , а ? рациональные числа. Первообразная для функции является элементарной функцией в следующих трех случаях:

а) ? целое. Тогда имеем случай, рассмотренный в примере 4.

б) ? целое. Тогда делаем замену , где ? знаменатель дроби .

в) ? целое. Тогда делаем замену , где ? знаменатель дроби .

, где .

Здесь сделана замена , поскольку ? целое.

.

Сделана замена , поскольку ? целое.

Пример.

Если подынтегральная функция содержит трансцендентную функцию сложного аргумента , то можно сделать замену .

.

Здесь сделана замена . Тогда .

Пример.

Интегралы вида , где ? рациональная функция своих аргументов, вычисляются с помощью подстановки . При этом имеем .

Рассмотрим интегрирование функций вида , где и ? многочлены от . Если степень многочлена больше или равна степени многочлена , то делением на выделяем целую часть ? многочлен , т. е. , где степень многочлена меньше степени многочлена . Для интегрирования рациональной дроби , называемой правильной, используется разложение этой дроби на сумму простейших дробей. Вид этого разложения зависит от разложения на множители. Если , где ? действительные корни многочлена , а трехчлены не имеют действительных корней, то разложение дроби на сумму простейших дробей ищется в виде

,

где неопределенные коэффициенты находятся следующим образом: правая часть разложения на простейшие дроби приводится к общему знаменателю (им будет многочлен ), и у получившегося в числителе многочлена и у многочлена приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях . В результате получается система линейных уравнений, из которой находятся неопределенные коэффициенты.

Пример.

Вычислим . Разложение дроби на сумму простейших дробей ищем в виде . Коэффициенты определяем из равенства

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , приходим к системе уравнений

Следовательно:

.

Для упрощения вычисления данных интегралов иногда полезно проводить некоторые преобразования, делать замены переменных.

Пример.

.


^ II. Определенный интеграл, геометрические приложения


Интеграл в смысле Римана. Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на части точками . Положим ,

? произвольно выбранные точки из . Определенным интегралом (Римана) функции на называется число . Функции , для которых предел в правой части равенства существует независимо от выбора точек и разбиения, называются интегрируемыми на , а числа и называются соответственно верхним и нижним пределами интегрирования. В частности, интегрируемы на любом конечном интервале следующие функции: а) непрерывные; б) ограниченные, имеющие конечное число точек разрыва; в) ограниченные монотонные.

Ограниченность функции является необходимым условием интегрируемости. Если функция не ограничена на , то она не-интегрируема (но можно рассматривать несобственные интегралы, о которых говорится ниже).

Вычисляются определенные интегралы с помощью неопределенных: если имеет первообразную на то справедлива формула Ньютона-Лейбница: . Используется также формула интегрирования по частям: , где , ? непрерывно дифференцируемые функции на отрезке , и замена переменной:

при условиях: 1) непрерывна на ; 2) непрерывна вместе со своей производной на , где , ; 3) сложная функция определена и непрерывна на .

^ Вычисление площадей плоских фигур. Определенный интеграл для непрерывной функции геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и двумя линиями . Вычисление площадей фигур, отличных от криволинейных трапеций, также осуществляется с помощью определенных интегралов. Так, например, если заданы две непрерывные кривые и и прямые , тогда площадь фигуры, ограниченной этими линиями, вычисляется по формуле . Если кривая задается в параметрическом виде уравнениями , , тогда .

Пусть теперь уравнения задают замкнутую кривую и при изменении параметра от до кривая проходится один раз в положительном направлении, т. е. против часовой стрелки (при этом обходе кривая ограничивает слева от себя фигуру с площадью ). Тогда . Если с возрастанием кривая проходит в отрицательном направлении (по часовой стрелке), то в этих трех формулах знак меняется на противоположный.

В полярной системе координат площадь сектора, ограниченного непрерывной кривой и двумя полупрямыми , вычисляется по формуле .

Примеры. 1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и . Находим точки пересечения кривых: .

Тогда .

2) Вычислить площадь области, ограниченной осью ОХ и одной аркой циклоиды: , . Чтобы получилась одна арка, должно быть , при этом меняется от 0 до .

3) Вычислить площадь эллипса , , .

Уравнения задают замкнутую кривую, поэтому для вычисления площади используем любую из трех приведенных выше формул, например, последнюю:

.

^ Вычисление длины дуги. Пусть задана гладкая (непрерывно дифференцируемая) кривая в прямоугольной системе координат. Длина дуги соответствующего отрезка кривой равна .

Если кривая задана параметрически: , то

.

В полярных координатах, если кривая задана уравнением , то

.

Примеры. 1) Найти длину дуги параболы . Вычислим , тогда по первой формуле имеем . Неопределенный интеграл (обозначим) проинтегрируем по частям:

. Из этого уравнения относительно найдем его значение, перенося в левую часть равенства: и делим на 2. Окончательно имеем .

2) Найти длину четверти астроиды . Заметив, что , по второй формуле получим

.

3) Найти длину дуги логарифмической спирали от точки до точки .

Так как , то , тогда по третьей формуле имеем .

^ Вычисление объемов тел вращений. Пусть задана криволинейная трапеция , , где ? непрерывная однозначная функция. Пространственная фигура, полученная вращением вокруг оси этой трапеции, называется телом вращения, и ее объем равен . Если криволинейную трапецию вращать вокруг оси , то объем вычисляется по формуле .

В более общем случае объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры , , где и ? непрерывные неотрицательные функции, равен . Аналогично при вращении вокруг оси объем равен .

Примеры. Пусть фигура ограничена линиями . Найдем точки пересечения линий: . Следовательно, объемы соответствующих тел вращения равны:

,

.


^ III. Несобственные интегралы


Интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция определена и непрерывна при всех и, следовательно, интегрируема на каждом конечном отрезке . Тогда по определению полагают: . Говорят, что несобственный интеграл существует или сходится, если существует конечный предел, указанный в определении. Если же при не имеет конечного предела, то говорят, что несобственный интеграл не существует или расходится. Аналогично определяются несобственные:

, .

Последнее равенство понимается так: если каждый из несобственных интегралов, стоящих справа, существует, то существует по определению и интеграл, стоящий слева.

Пример.

.

.


^ IV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ


1. Дифференциальные уравнения I порядка

Дифференциальным уравнением (обыкновенным) называется уравнение, связывающее независимую переменную, функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. В общем виде дифференциальное уравнение может быть записано в следующем виде:

.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком уравнения. Следовательно, уравнения I порядка имеют вид или (в разрешенном относительно виде) .

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая на интервале функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество на .

Задача, в которой требуется найти решение уравнения , удовлетворяющее условию , называемому начальным условием, называется задачей Коши.

Общим решением дифференциального уравнения в некоторой области плоскости называется функция , зависящая от и постоянной из некоторого множества , если: 1) является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной ; 2) для любого начального условия существует единственное значение , при котором решение удовлетворяет начальному условию.

Всякое решение , получающееся из общего решения , для области при конкретном значении называется частным решением.

Общее решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме , называется общим интегралом этого уравнения.

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений I порядка.

1.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Это дифференциальные уравнения, которые могут быть записаны в виде или в виде равенства дифференциалов: . При такой симметричной записи относительно и иногда удобно рассматривать не как функцию , а как функцию переменной . Называя иногда функцией, именно это имеют в виду.

Для решения последнего уравнения надо обе части уравнения умножить или разделить на такое выражение, чтобы после сокращений в одну часть входило выражение, связанное только с переменной , а в другую ? только с , а затем проинтегрировать обе части. При делении обеих частей на выражение, содержащее неизвестные и , могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль. Поэтому такие решения проверяются.

Пример. Решить уравнение .

Запишем это уравнение через дифференциалы: или

.

Разделим обе части последнего уравнения на: .

Переменные разделены. Интегрируем дифференциалы в обеих частях, имея в виду, что :

, откуда получаем ? общий интеграл для области , не содержащей прямых и . При делении на могли быть потеряны решения , если рассматривать как функцию от и . При проверке (подстановке в уравнение) находим, что есть решение уравнения, а ? нет. Заметим, что не входит в семейство функций, описанных общим интегралом, т. к. в этом случае не существует.


1.2. Однородные уравнения

Определение. Функция называется однородной функцией степени , если для всех имеем .

Однородные уравнения могут быть записаны в виде или , где и ? однородные функции одной и той же степени.

Чтобы решить однородное уравнение, делают замену , где ? новая неизвестная функция от , после чего получают уравнение с разделяющимися переменными.

Пример. Решить уравнение . Здесь функции и ? однородные, первой степени. Полагаем . Тогда . Подставляя в уравнение, получим: или . Решаем это уравнение с разделяющимися переменными: . Возвращаясь к старой переменной , получим . Кроме того, имеется решение , которое было потеряно при делении на .

1.3. Линейные уравнения I порядка

Это уравнения вида . Чтобы их решить, сначала решают уравнение (это делается путем разделения переменных) и, в общем решении последнего заменяя произвольную постоянную на неизвестную функцию , получают решение . Затем выражение, полученное для , подставляют в исходное уравнение и находят функцию (так же разделением переменных).

Линейные уравнения I порядка можно решить также методом Бернулли: с помощью подстановки , где и ? две неизвестные функции. Исходное уравнение преобразуется к виду . Далее, за принимают любое частное решение уравнения или . После того как найдено, оно подставляется в уравнение (слагаемое в квадратных скобках при этом обращается в 0), откуда находится общее решение , а затем при умножении на и общее решение исходного уравнения.

Примеры. 1) Решить уравнение . Запишем это уравнение в виде ? линейное уравнение I порядка. Решим его методом Бернулли. Положим , , тогда . Решаем сначала уравнение или . Интегрируя, получим или . Возьмем частное решение и подставим в уравнение или откуда . Итак, .

  1. Решить уравнение . Запишем уравнение в виде . Решим методом вариации произвольной постоянной (первым способом). или .. Чтобы найти функцию , подставим найденное в исходное уравнение:

откуда имеем . Окончательно получим .

2. Уравнения, допускающие понижение порядка

Рассмотрим два случая: а) в уравнение не входит искомая функция , т. е. оно имеет вид . Тогда порядок понижается, если сделать замену ; б) в уравнение не входит независимая переменная , т. е. оно имеет вид . Тогда порядок понижается, если записать .

Пример. Решить уравнение . В это уравнение не входит , следовательно, полагаем Тогда . Подставляя в исходное уравнение, получим или или .

Следовательно, , откуда находим , или .

3. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами II порядка

Сначала рассмотрим линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами . Чтобы его решить, составляют характеристическое уравнение и находят его корни . Если корни и простые (некратные), то общее решение уравнения записывается в виде .Если корни кратные, т. е. , то общее решение имеет вид . Если корни комплексные сопряженные (т. е. числа вида где ), то общее решение будет иметь вид .

Пример. Решить уравнение . Характеристическое уравнение имеет корни . Общее решение уравнения можно записать в виде .

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами определяется теоремой: общее решение неоднородного уравнения равно сумме любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения . Следовательно, для построения общего решения неоднородного уравнения надо найти одно частное решение (предполагается, что решение соответствующего однородного уже найдено описанным выше способом). Для этого можно использовать метод подбора частного решения (метод неопределенных коэффициентов). Этот метод применим только к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и специальной правой частью такого вида: (или сумме функций такого вида). Здесь и многочлены от степени и .

Частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде , где , если число не является корнем характеристического уравнения, и ? в противном случае (при ); и ? полные многочлены от степени, , т. е. (содержит все степени от 0 до ).При равно кратности корня характеристического уравнения, равного , и , если не есть корень характеристического уравнения. Неопределенные коэффициенты можно найти из системы линейных алгебраических уравнений, получаемых приравниванием коэффициентов подобных членов в левой и правой частях исходного уравнения после подстановки в него вместо .

Если правая часть исходного уравнения равна сумме нескольких различных функций рассматриваемого вида, то находят частные решения, соответствующие отдельным слагаемым правой части, и в качестве берут их сумму.

Примеры. 1) Решить уравнение при начальных условиях . Характеристическое уравнение имеет корни , следовательно, . Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде , т. к. не является корнем характеристического уравнения, поэтому , а следовательно, . Далее имеем . Подставляя в исходное уравнение, получим

.Приравнивая коэффициенты при и в левой и правой частях тождества, найдем . Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид . Постоянные и находим из начальных условий: или . Тогда .

  1. Решить уравнение . Характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, ? общее решение однородного уравнения. Правую часть нужно разбить на 2 слагаемых: и . Для первого частное решение ищем в виде , (т. к. ? не корень характеристического уравнения, то ) и для второго ? в виде . Для имеем тогда

. Для имеем

. Частное решение неоднородного уравнения будет таким: и общее решение данного уравнения .


  1. Задания для контрольных работ


Найти неопределенные интегралы. В пп. а) и б) результаты проверить дифференцированием.

1. а) б)

в) г)

2. а) б)

в) г)

3. а) б)

в) г)

4. а) б)

в) г)

5. а) б)

в) г)

6. а) б)

в) г)

7. а) б)

в) г)

8. а) б)

в) г)

9. а) б)

в) г)

10. а) б)

в) г)

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:

  1. ; 6. ;

  2. ; 7. ;

  3. ; 8. ;

  4. ; 9. ;

  5. ; 10. .

Вычислить площадь ? , длину дуги ? , объем тела вращения вокруг оси ? или объем тела вращения вокруг оси ? :

  1. Вычислить фигуры, заключенной между линиями: и .

  2. Вычислить фигуры, ограниченной астроидой: .

  3. Вычислить фигуры, ограниченной линией .

  4. Вычислить фигуры, ограниченной линиями и .

  5. Вычислить фигуры вращения, определяемой линиями: , и осью .

  6. Вычислить фигуры вращения, определяемой линиями: и .

  7. Вычислить фигуры вращения, определяемой линиями: , осью .

  8. Вычислить линии , заключенной внутри параболы .

  9. Вычислить петли линии .

  10. Вычислить кардиоиды .


Найти общее решение дифференциального уравнения I порядка:

1. 2.

  1. 4.

  2. 6.

7. 8.

  1. 10. .


Найти общее решение дифференциального уравнения II порядка:

  1. 2.

  2. 4.

  3. 6.

  4. 8.

  5. 10. .


Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям:



















  1. .



ЛИТЕРАТУРА

1. Пискунов И. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука,

1970. Т. 2. С. 576.

2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. М.: Высш. школа, 1981, Т.

С. 687.

3. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.:

Наука, 1973, С. 128.

  1. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. школа, 1986. Т. 2. С. 415.



Похожие:

I. Неопределенный интеграл iconНеопределенный интеграл. Примеры решений
Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом Неопределенный...
I. Неопределенный интеграл iconНеопределенный интеграл. Подробные примеры решений
На данном уроке мы начнем изучение темы Неопределенный интеграл, а также подробно разберем примеры решений простейших (и не совсем)...
I. Неопределенный интеграл iconЛекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно...
I. Неопределенный интеграл iconТема 1 Неопределенный интеграл
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала функции. В интегральном исчислении...
I. Неопределенный интеграл iconИнтегральное исчисление первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла
В интегральном исчислении решается обратная задача: для заданной функции f (X) требуется найти такую функцию f (X), для которой f...
I. Неопределенный интеграл iconТема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования
Для всякой математической операции прямого действия всегда существует операция обратного действия. Сложение и вычитание, умножение...
I. Неопределенный интеграл icon§ поверхностный интеграл I рода (по площади поверхности)
Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла, каким криволинейный интеграл I рода является...
I. Неопределенный интеграл iconКонспект по датам. Лекция 1: 10 февраля Глава Неопределённый интеграл опр и свойства
Определение первообразной, Свойства: что F+C тоже перв. (Док-ть), что разность двух первообр = C. Определение неопр интеграла. Свойства...
I. Неопределенный интеграл icon24. Первообразная. Неопределенный интеграл
В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f (Х) необходимо найти ее производную. Интегральное исчисление решает...
I. Неопределенный интеграл iconОпределенный интеграл. Примеры решений
И снова здравствуйте. На данном уроке мы подробно разберем такую замечательную вещь, как определенный интеграл. На этот раз вступление...
Разместите ссылку на наш сайт:
Уроки, сочинения


База данных защищена авторским правом ©izlov.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
связаться с нами