Задача №1. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной вокруг основания окружности равен, а высота пирамиды равна 4 icon

Задача №1. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной вокруг основания окружности равен, а высота пирамиды равна 4



НазваниеЗадача №1. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной вокруг основания окружности равен, а высота пирамиды равна 4
Дата17.10.2016
Размер
ТипЗадача


РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

(по материалам ЕГЭ)


Задача №1. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной вокруг основания окружности равен , а высота пирамиды равна 4.


Задача №2. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание окружности равен , а боковые ребра пирамиды равны 6.


Задача №3. Вычислите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной около основания окружности равен , а высота пирамиды равны 1.


Задача №4. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а апофема пирамиды равна .


Задача №5. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание окружности равен 2, а высота правильной пирамиды равна .


Задача №6. Вычислите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если её ребра равны 5, а радиус окружности, описанной вокруг основания равен 3.


Задача №7. В правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой поверхности равна 16, а площадь основания 4. Найдите высоту пирамиды.


Задача №8. Вычислите объём правильной шестиугольной пирамиды, если сторона основания равна 4, а боковые ребра пирамиды равны 5.


Задача №9. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 2. Найдите объём пирамиды.


Задача № 10. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Высота цилиндра равна 5, а радиус его основания ^ R удовлетворяет уравнению R2 + R – 6 = 0. Найдите объём призмы.

Задача №11. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и стороной основания призмы равно . Высота цилиндра равна трем его радиусам. Найдите объём призмы.


^ Задача №12. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 16 . Найдите объём призмы, если сторона её основания равна 5.


^ Задача №13. Около правильной четырехугольной призмы описан цилиндр, площадь боковой поверхности которого равна 20. Найдите площадь боковой поверхности призмы.


Задача №14. В правильную четырехугольную призму вписан цилиндр. Объем цилиндра равен 16 , а радиус окружности, описанной вокруг основания призмы, равен . Найдите диагональ призмы.


Задача №15. В правильную шестиугольную призму вписан цилиндр. Найдите высоту призмы, если её площадь равна 54 , а радиус цилиндра равен 3.


Задача № 16
. Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Объём цилиндра равен 16 , высота цилиндра равна 4. Найдите объём призмы.


Задача №17. Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Объём цилиндра равен 10 . Найдите объём цилиндра, вписанного в эту же призму.


^ РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

(по материалам ЕГЭ)

Задача №1. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной вокруг основания окружности равен , а высота пирамиды равна 4.

Решение.

.

1) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .


2) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .


3) вычислим объём пирамиды

.

Ответ. 9


Задача №2. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание окружности равен , а боковые ребра пирамиды равны 6.

Решение.

1) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е. , тогда .

2) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .

3) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .

4) из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим высоту пирамиды: , .

5) вычислим объём пирамиды

.

Ответ. 18.


Задача №3. Вычислите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной около основания окружности равен , а высота пирамиды равны 1.

Решение.



1) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .

2) найдем периметр основания Р = 3·а,

Р = 9.

3) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е. , тогда .

4) из прямоугольного треугольника ^ МОР по теореме Пифагора находим апофему МР: ,

МР =

5) вычислим площадь боковой поверхности правильной пирамиды:

,.

Ответ. .


Задача №4. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а апофема пирамиды равна .

Решение. ,

1) найдем радиус описанной около основания и вписанной в основание окружностей: , то есть .

2) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .

3) из прямоугольного треугольника МОР по теореме Пифагора находим высоту: , МО = .

4) вычислим объём правильной пирамиды: = .

Ответ. 18.

Задача №5. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание окружности равен 2, а высота правильной пирамиды равна .


Решение.

1) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е. , тогда .

2) найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле , .

3) найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника , .

4) вычислим объём правильной пирамиды: = .

Ответ. 36.


Задача №6. Вычислите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если её ребра равны 5, а радиус окружности, описанной вокруг основания равен 3.

Решение.

1) найдем сторону основания по формуле , т.е. .


2) найдем периметр основания: Р = 4а,

Р = 24.


3) из прямоугольного треугольника МDР по теореме Пифагора находим апофему МР: ,DP =

тогда: МР = .


4) вычислим площадь боковой поверхности пирамиды: = .

Ответ. 48.


Задача №7. В правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой поверхности равна 16, а площадь основания 4. Найдите высоту пирамиды.




Решение.


1) найдем сторону основания: так как в основании пирамиды квадрат с площадью равной 4, то сторона квадрата равна 2, а его периметр 8.


2) по условию = 16 т.е.

.


3) из прямоугольного треугольника МОР по теореме Пифагора находим высоту: , учитывая, что ОР = = 1, получаем: МО = .

Ответ. .



Задача №8. Вычислите объём правильной шестиугольной пирамиды, если сторона основания равна 4, а боковые ребра пирамиды равны 5.


Решение.

1) сторона основания правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности т.е. ,


2) площадь правильного шестиугольника найдем по формуле или = 24.


3) из прямоугольного треугольника МОВ найдем высоту МО: .


4) вычисляем объём пирамиды: =.

Ответ. 24.

Задача №9. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 2, а боковое ребро равно 2. Найдите объём пирамиды.




Решение.



1) найдем площадь правильного шестиугольника по формуле или = 12.

2) из прямоугольного треугольника МОВ найдем высоту МО, учитывая, что в правильном шестиугольнике : .


3) вычисляем объём пирамиды: =.


Ответ: 24.


Задача № 10. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Высота цилиндра равна 5, а радиус его основания R удовлетворяет уравнению R2 + R – 6 = 0. Найдите объём призмы.


Решение.V = S · H

1) так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра, а основание призмы вписано в основание цилиндра, ^ Н = 5.

2) по условию R удовлетворяет уравнению R2 + R – 6 = 0, решая которое находим

R1 = - 3, R2 = 2, так как радиус величина положительная то -3 не удовлетворяет условию задачи.

3) найдем сторону вписанного правильного треугольника по формуле , .

4) найдем площадь основания правильной призмы, как площадь правильного треугольника: =
5) вычислим объём призмы: V = S · H = .

Ответ. 15.


^ Задача №11. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и стороной основания призмы равно . Высота цилиндра равна трем его радиусам. Найдите объём призмы.




Решение. V = S · H

1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра, а основание призмы вписано в основание цилиндра, по условию Н =3R..

2) Расстояние между осью цилиндра и стороной основания призмы равно радиусу вписанной в треугольник АВС окружности, т.е. , и по условию равно .

3) радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е. , тогда .

4) найдем сторону вписанного правильного треугольника по формуле , .

5) найдем площадь основания правильной призмы, как площадь правильного треугольника: =

6) вычислим объём призмы: V = S · H =S·3·R = 162.

Ответ. 162.


Задача №12. Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 16 . Найдите объём призмы, если сторона её основания равна 5.

Решение. V = S · H

1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра, а основание призмы вписано в основание цилиндра.

2) Найдем площадь основания правильной призмы, как площадь правильного треугольника: =.

3) Сторона вписанного правильного треугольника находится по формуле , тогда .

4) По условию площадь боковой поверхности цилиндра равна 16· т.е., откуда Н = = .

5) Вычислим объём призмы: V = S · H =·= 30.

Ответ. 30.

Задача №13. Около правильной четырехугольной призмы описан цилиндр, площадь боковой поверхности которого равна 20. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.

1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра, а основание призмы вписано в основание цилиндра.

2) По условию площадь боковой поверхности цилиндра равна 20, т.е. , .

3) так как призма правильная, то в её основании лежит квадрат, со стороной , тогда периметр основания равен .

4) вычислим площадь боковой поверхности призмы = .

Ответ. .


Задача №14. В правильную четырехугольную призму вписан цилиндр. Объем цилиндра равен 16 , а радиус окружности, описанной вокруг основания призмы, равен . Найдите диагональ призмы.



Решение. 1) Так как цилиндр вписан в призму, то высота призмы равна высоте цилиндра, а основание цилиндра вписано в основание призмы.

2) Так как радиус окружности, описанной вокруг основания призмы, равен =, то сторона квадрата равна

а радиус цилиндра равен, радиусу вписанной в квадрат окружности и равен:

3) По условию объём цилиндра равен 16, т.е. , = 4.

4) Из прямоугольного треугольника АСА1 находим диагональ А1С :

А1С =.

Ответ. 8.


Задача №15. В правильную шестиугольную призму вписан цилиндр. Найдите высоту призмы, если её площадь равна 54 , а радиус цилиндра равен 3.
Решение
.

1) Так как цилиндр вписан в призму, то высота призмы равна высоте цилиндра, а основание цилиндра вписано в основание призмы.

2) по условию радиус цилиндра равен 3, тогда , .

3) сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности, т.е. .

4) по условию площадь призмы равна 54 , т.е.

Pосн.·Н + 2 Sосн=54.

5) найдем периметр основания и его площадь: Р = 6·а = 6 ·2=12.

Sосн = .

6) подставим полученные значения в формулу Pосн.·Н + 2 Sосн=54 и получим Н = (54 – 36 ): 12 =1,5.

Ответ. 1,5.


Задача № 16. Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Объём цилиндра равен 16 , высота цилиндра равна 4. Найдите объём призмы.

Решение. V = S · H

1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра, т.е. Н = 4.

2) по условию , т.е.

,R = 2.

3) так как сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности, то а = 2.

4) Найдем площадь основания призмы по формуле:=6.

5) вычислим объём призмы: .

Ответ. 24.

^ Задача №17. Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Объём цилиндра равен 10 . Найдите объём цилиндра, вписанного в эту же призму.

Решение. V = S · H

1) Так как призма вписана в цилиндр, то высота призмы равна высоте цилиндра.


2) по условию , т.е.

.


3) так как сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности, то R = а.


4) выразим радиус основания вписанного цилиндра через радиус описанного цилиндра: .

5) запишем формулу вычисления объёма вписанного в призму цилиндра: V = S · H, т.е.:

V = =·.

Ответ. 7,5.



Похожие:

Задача №1. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной вокруг основания окружности равен, а высота пирамиды равна 4 iconЗадача по алгебре, причем элементарная. Объем шара равен πr осталось решить уравнение: π6 3 π8 3 π10 3 π R
Иными словами, если у параллелепипеда и пирамиды одинаковые основания и одинаковые высоты, то объем пирамиды будет в три раза меньше,...
Задача №1. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной вокруг основания окружности равен, а высота пирамиды равна 4 iconВоронежский государственный педагогический университет
Вычислить объем пирамиды, основанием которой является треугольник, для значений А, В, с и н данных в контрольном примере. Для вычисления...
Задача №1. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной вокруг основания окружности равен, а высота пирамиды равна 4 icon3. Задача: Высота цилиндра на 10см больше радиуса основания. S пол
Задача: Высота цилиндра на 10см больше радиуса основания. Sпол=144Пс Определить Rосн и Hвысота
Задача №1. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной вокруг основания окружности равен, а высота пирамиды равна 4 iconЗадача №1 При электролизе 1л раствора хлорида меди (II) на катоде выделилась медь массой 12,7г. Вычислите объем газа (н у.), выделившегося на аноде, если плотность раствора близка к 1 г/мл. Решение
При электролизе 1л раствора хлорида меди (II) на катоде выделилась медь массой 12,7г. Вычислите объем газа (н у.), выделившегося...
Задача №1. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной вокруг основания окружности равен, а высота пирамиды равна 4 iconТворческая работа по карточкам I. устная работа Дано: авсда 1 в 1 с 1 д 1 параллелепипед аа 1
Образующая прямого конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 300. Найдите объём конуса ( в №11 задание 7 )
Задача №1. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной вокруг основания окружности равен, а высота пирамиды равна 4 iconЗадача медиана вм треугольника авс равна половине стороны ас. Угол между вм и высотой вн равен 38 Найдите углы треугольника авс
...
Задача №1. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной вокруг основания окружности равен, а высота пирамиды равна 4 iconУчебник Атанасян Л. С. «Геометрия 10-11»
Продолжать формировать у учащихся понятие об основных видах многогранников. Познакомить с понятием пирамиды
Задача №1. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной вокруг основания окружности равен, а высота пирамиды равна 4 iconКлассическая пирамида
В последние несколько лет начали вновь активизироваться финансовые пирамиды. Доверчивые граждане, будто позабыв уроки 90-х годов,...
Задача №1. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной вокруг основания окружности равен, а высота пирамиды равна 4 iconЛекция №5 Знакомство с операциями твердотельного моделирования: операция по сечениям
План: Изучение операции По сечениям для создания трехмерной твердотельной модели. Построение конуса. Построение пирамиды
Задача №1. Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной вокруг основания окружности равен, а высота пирамиды равна 4 iconЗадача «Лебедка»
Кпд лебедки равен, радиус вала лебедки. Лебедка поднимает бочку массой на высоту по наклонной плоскости длиной, массой троса можно...
Разместите ссылку на наш сайт:
Уроки, сочинения


База данных защищена авторским правом ©izlov.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
связаться с нами