Интегральное исчисление первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла icon

Интегральное исчисление первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла



НазваниеИнтегральное исчисление первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла
Дата17.10.2016
Размер
ТипУроки, сочинения

ГЛАВА  5.  ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ


5.1. Первообразная и неопределённый интеграл.

Свойства неопределённого интеграла


Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение для заданной функции y = f (x) её производной или дифференциала . В интегральном исчислении решается обратная задача: для заданной функции f (x) требуется найти такую функцию F (x), для которой f (x) является производной, а произведение f (x) dx – дифференциалом:

и . (5.1)

О п р е д е л е н и е 1. Функция F(x) называется первообразной функции f (x) на некотором промежутке, если для всех значений x из этого промежутка выполняются равенства (5.1).

Выясним, является ли первообразная единственной. Для этого предположим, что функция f (x) имеет две различные первообразные F (x) и , удовлетворяющие условиям

и . (5.2)

Составим разность этих первообразных y = – F(x) и найдём её производную с учётом равенств (5.2):

.

По теореме п.3.7 о достаточном условии монотонности функции отсюда следует, что – F (x) = C или = F (x) + C, где C – произвольное постоянное число. Тем самым выражение F (x) + C является общим видом всех первообразных функции f (x).

О п р е д е л е н и е 2. Если F(x) есть первообразная функции f (x), то выражение F(x) + C, где C – произвольная постоянная, называется неопределённым интегралом от функции f (x) по dx и обозначается символом

. (5.3)

Здесь f (x) называется подынтегральной функцией, f (x)dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, символ знаком неопределённого интеграла. Операция нахождения неопределённого интеграла от заданной функции называется её интегрированием. Из определений 1 и 2 видно, что интегрирование есть действие обратное дифференцированию.

Из этих определений и правил дифференцирования п.3.3 вытекают следующие свойства неопределённого интеграла:

1., 2.,

3., 4. A≠0-постоянная,

5.,

6. Если f1(x) = f2(x) или f1(x) dx = f2(x) dx, то ,

7. Если, то и, где t = φ(x) – произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

З а м е ч а н и я. 1) Свойство 1 используется для проверки результата интегрирования.

2) Свойства 2 и 3 показывают, что с точностью до постоянного слагаемого C символы d и ∫ взаимно уничтожаются, если следуют друг за другом.

3) Свойство 6 означает, что при равенстве двух функций или их дифференциалов неопределённые интегралы от этих функций отличаются на постоянное слагаемое.

4) Свойство 7, вытекающее из правила дифференцирования сложной функции и определения её дифференциала, означает независимость формулы для неопределённого интеграла от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от неё, имеющей непрерывную производную.


5.2. Таблица неопределённых интегралов. Метод

непосредственного интегрирования


Таблица неопределённых интегралов получается из таблицы производных основных элементарных функций п.3.2, если её прочитать справа налево и использовать определение неопределённого интеграла. В таблицу добавляют также интегралы, которые обобщают табличные, и ещё некоторые часто встречающиеся в практике интегралы, которые легко проверяются дифференцированием.

Т а б л и ц а и н т е г р а л о в.

1), α ≠ –1; α = 0: ;

α = : ; α = : .

2). 3).

4). 5).

6). 7).

8). 9).

10). 11).

12). 13).

14). 15).

16). 17).

18). 19).

20). 21).

22).

В интегральном исчислении нет правил отыскания неопределённых интегралов от элементарных функций, похожих на правила дифференцирования. Методы интегрирования сводятся к указанию приёмов, приводящих данный интеграл к табличному. Поэтому необходимо табличные интегралы знать наизусть.

Метод интегрирования, при котором используются свойства неопределённого интеграла, таблица интегралов и формулы элементарной математики, преобразующие заданную подынтегральную функцию в сумму или разность функций, для которых имеются табличные интегралы, называется методом непосредственного интегрирования.

Навыки непосредственного интегрирования приобретаются на начальном этапе в результате большого числа самостоятельных упражнений и требуют индивидуального подхода к каждой подынтегральной функции.

П р и м е р ы. Найти интегралы.

1)

.

2)

.

3)

.

4)

.

5)

.


^ 5.3. Метод интегрирования заменой переменной


Если неопределённый интеграл не преобразуется к алгебраической сумме табличных интегралов с помощью формул элементарной математики, то нужно применять другие методы интегрирования. Наиболее часто используют метод замены переменной, называемый также методом подстановки.

Метод состоит в использовании формулы замены переменной в неопределённом интеграле

, (5.4)

вытекающей из свойства 7 п.5.1 при замене переменной интегрирования по формулам

, . (5.5)

З а м е ч а н и е. Иногда формулу (5.4) целесообразно использовать справа налево для нахождения интегралас помощью подстановки , :

, (5.6)

если интеграл справа приводится к табличному. Умение правильно определить и выполнить подстановку приобретается практикой.

П р и м е р ы. Найти интегралы.

1)

.

2)

.

3) .

4)

.

5) .

6) .

7) .

8)

.


^ 5.4. Метод интегрирования по частям


Этим методом находят интегралы, которые не сводятся к табличным непосредственно и с помощью замены переменной, но преобразуются к ним с помощью формулы интегрирования по частям, получаемой обращением правила дифференцирования произведения двух функций , где u = u (x), v = v (x) – дифференцируемые функции.

Согласно определению дифференциала функции, данному в п.3.4, имеем его выражение вида , из которого следует:

. (5.7)

Интегрируя равенство (5.7) почленно с учётом свойств 3 и 6 из п.5.1, получаем формулу интегрирования по частям

, (5.8)

которая сводит нахождение интеграла в левой части равенства к нахождению интеграла в правой части равенства и, следовательно, её использование имеет смысл, если неопределённый интеграл в правой части равенства является более простым, чем в левой его части, или является табличным. Можно указать три группы интегралов, которые этим условиям удовлетворяют и берутся по формуле (5.8).

П е р в а я г р у п п а: , , , где n – натуральное число, k – любое постоянное число.

В интегралах этой группы нужно положить u = xn, а за dv обозначить оставшееся выражение. После нахождения du = n xn-1 dx и v = и использования формулы (5.8) n раз получим в её правой части табличный интеграл.

П р и м е р ы. Найти интегралы.

1)

.

2)

.

В т о р а я г р у п п а:

, , где n – натуральное число, α и k – любые постоянные числа.

В интегралах этой группы полагают dv = xα dx и dv = xn dx соответственно, а за функцию u = u(x) принимают оставшуюся трансцендентную функцию. После применения формулы (5.8) в её правой части

получается либо табличный интеграл, либо интеграл, который затем берётся непосредственно или методом замены переменной. Ко второй группе можно отнести и многие другие интегралы, не указанные выше.

П р и м е р ы. Найти интегралы.

3)

.

4)

.

5)

.

Т р е т ь я г р у п п а: , , , , , и многие другие.

Каждый интеграл этой группы после применения формулы интегрирования по частям с точностью до множителя приводится в правой части равенства (5.8) к самому себе, после чего из полученного равенства он находится как из уравнения с одним неизвестным.

П р и м е р. Найти интеграл.

6)

.


^ 5.5. Специальные приёмы интегрирования некоторых

тригонометрических и иррациональных функций


I. И н т е г р а л ы в и д а , где m и n – любые целые показатели. Возможны следующие четыре случая.

1) m – любое целое число, n = 2l + 1 – нечётное положительное число. Степень с нечётным положительным показателем разобьём на два множителя вида cos2l+1 x = cos2l x cos x = (1–sin2 x)l cos x. Выполнив замену переменной t = sin x, dt = cos x dx, получим

. (5.9)

После раскрытия скобок полученный интеграл сводится к сумме табличных интегралов от степенной функции.

2) m = 2k + 1 – нечётное положительное число, n – любое целое число. После аналогичного преобразования нечётной положительной степени и замены переменной вида t = cos x, dt = – sin x dx, получим

. (5.10)

3) m = 2k + 1, n = 2l + 1 – нечётные числа и хотя бы одно из них положительное. После преобразования нечётной положительной степени и соответствующей замены переменной интеграл приводится к виду формулы (5.9) или формулы (5.10).

4) m = 2k, n = 2l – чётные положительные числа (в частности, одно из них может быть равным нулю). В этом случае нужно применять формулы понижения чётной степени синуса и косинуса

, , , (5.11)

преобразуя исходный интеграл в сумму интегралов, рассмотренных в случаях 1) – 3).

II. И н т е г р а л ы в и д а , где n – целое число, рациональное выражение относительно x и .

Интегралы такого вида сводятся к интегралам от рациональной или дробно-рациональной функции, имеющей вид многочлена или отношения двух многочленов, с помощью замены переменной по формулам

t = , , . (5.12)


^ 5.6. Понятие о «неберущихся» интегралах и

интегрировании в конечном виде


Не всякая элементарная функция имеет интеграл, выражающийся через элементарные функции. Так, например, интегралы

, , , , , ,

, , ,

и ряд других не выражаются конечным числом элементарных функций. О таких интегралах говорят, что они не берутся в конечном виде, т. е. первообразные для их подынтегральных функций существуют, но представляют собой функции более сложной природы. Это обстоятельство указывает на существенное отличие операции интегрирования от обратной ей операции дифференцирования, которая замкнута относительно класса элементарных функций (производная любой элементарной функции есть элементарная функция).

Самый важный класс представляют рациональные функции, т. е. функции вида рациональной дроби

, (5.13)

где P(x), Q(x) – многочлены. Доказано, что интеграл от любой рациональной дроби всегда берётся в конечном виде и выражается через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы. Интегрирование иррациональных и трансцендентных (показательных, логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических) функций сводится к использованию таких подстановок, которые преобразуют эти функции в рациональные относительно новой переменной. Такой метод интегрирования называется методом рационализации подынтегрального выражения. Применение этого метода показано в предыдущем п.5.5.

^ 5.7. Понятие определённого интеграла


О п р е д е л е н и е. Пусть функция f (x) имеет первообразную F(x). Определённым интегралом от непрерывной функции f (x) на отрезке [a, b], обозначаемым символом , называется приращение первообразной F(b) – F(a) на этом отрезке:

. (5.14)

Числа a и b в обозначении определённого интеграла называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.

Равенство (5.14) называется формулой Ньютона – Лейбница. В ней разность F (b) – F (a) записывают также в форме . Поэтому формулу (5.14) на практике записывают так:

. (5.15)

Отсюда видно, что для вычисления определённого интеграла нужно сначала с помощью неопределённого интеграла найти первообразную при произвольной постоянной, равной нулю, а затем применить формулу Ньютона – Лейбница.

П р и м е р ы. Вычислить определённые интегралы.

1) .

2) .

3) .


^ 5.8. Геометрический смысл определённого интеграла


Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная неотрицательная функция y = f (x). Рассмотрим фигуру, ограниченную прямыми x = a, x = b, осью Ox и графиком функции y = f (x) для значений x  [a, b]. Такая фигура называется криволинейной трапецией (рис. 58). Найдём

её площадь S. Для этого выделим часть трапеции на отрезке [a, x], где a < x < b, и обозначим её площадь S(x). С изменением x площадь этой части трапеции изменяется, следовательно, S(x) – функция аргумента x. Покажем, что она является первооб-

Рис.58 разной для f (x).

Дадим аргументу x приращение Δx > 0 и для определённости предположим, что на отрезке [x, x+Δx] функция f (x) возрастает (рис. 58). Тогда приращение площади ΔS(x) будет заключено между площадями «входящего» прямоугольника с высотой f (x) и «выходящего» с высотой f (x+Δx):

f (x) Δx < ΔS(x) < f (x+Δx) Δx. (5.16)

Разделим неравенство (5.16) почленно на Δx > 0 и перейдём к пределу при :

.

Учитывая, что lim f (x) = lim f (x+Δx) = f (x) при , по известной теореме «о сжатой переменной» получаем

или , (5.17)

т. е. действительно, S(x) есть первообразная для f (x), причём такая, которая при x = a обращается в нуль, так как трапеция вырождается в отрезок, площадь которого равна нулю.

Она обозначается

(5.18) и выражает собой переменную площадь части криволинейной трапеции на отрезке [a, x]. Следовательно, площадь всей криволинейной трапеции на отрезке [a, b] вычисляется по формуле

. (5.19)

Таким образом, определённый интеграл от непрерывной неотрицательной функции имеет геометрический смысл площади криволинейной трапеции.

^ 5.9. Основные свойства определённого интеграла


Приведём без доказательства основные свойства определённого интеграла, вытекающие из его определения формулой Ньютона – Лейбница и геометрического смысла:

1) ; 2) ;

3) ; 4) , ^ A≠0 – постоянная;

5) ;

6) если a < c < b, то .

Т е о р е м а (о среднем значении функции). Если f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то существует точка x = c, где a < c < b, такая что

. (5.20)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Применяя к функции F(x) – первообразной для f (x) – формулу Лагранжа (3.33) из п.3.6, получим

,

где a < c < b. Но , так как F(x) – первообразная для f (x). Следовательно,

.

Г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л. Равенство (5.20) геометрически выражает тот факт, что площадь ^ S криволинейной трапеции равновелика площади прямоугольника с тем же основанием ba и высотой f (c), где a < c < b (рис.59). Число

(5.21)

называется средним значением функции f (x) на отрезке [a, b].

^ 5.10. Вычисление определённого интеграла


1. Если F(x) есть первообразная функции f (x) на отрезке [a, b], то определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона – – Лейбница:

. (5.22)

2. Пусть требуется вычислить определённый интеграл вида

(5.23)

с помощью замены переменной (подстановки)

t = φ(x), . (5.24)

Используя равенство t = φ(x), найдём пределы изменения переменной t при изменении x от значения x = a до значения x = b и введём для них обозначения

t = φ(a) = α, t = φ(b) = β,  [α, β]. (5.25)

В этом случае вычисление определённого интеграла (5.23) выполняется по формуле, учитывающей и замену переменной (5.24) и замену пределов интегрирования (5.25), вида:

. (5.26)

Формула (5.26) показывает, что при интегрировании с помощью метода замены переменной по формуле t = φ(x) в определённом интеграле надо изменить пределы интегрирования, используя равенства φ(a) = α и φ(b) = β, затем вычислить полученный определённый интеграл с новыми пределами интегрирования по формуле Ньютона – Лейбница, не возвращаясь к старой переменной x.

П р и м е р ы. Вычислить интегралы.

1) .

2)

.

3. Если неопределённый интеграл берётся методом интегрирования по частям, то формула интегрирования по частям для соответствующего ему определённого интеграла принимает вид:

. (5.27)

Здесь внеинтегральный член вычисляется непосредственно, а интеграл в правой части равенства либо вновь преобразуется по формуле (5.27), либо вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница (5.22) или по формуле (5.26) замены переменной в определённом интеграле.

П р и м е р ы. Вычислить интегралы.

3)

.

4)

.

5)

.

^ 5.11. Определённый интеграл с переменным

верхним пределом. Теорема существования


Пусть f (x) – непрерывная на отрезке [a, b] функция, а F(x) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл

, (5.28)

где  [a, b], а через t обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхним пределом. При изменении меняется и определённый интеграл (5.28), т. е. он является функцией верхнего предела интегрирования x, которую обозначим через :

. (5.29)

Докажем, что функция является первообразной для f (x). Действительно, дифференцируя , получим

, (5.30)

так как F(x) – первообразная для f (x), а F(a) – постоянная.

Функция – одна из бесконечного множества первообразных для f (x), а именно та, которая при x = a обращается в нуль. Таким образом, имеет место т е о р е м а с у щ е с т в о в а н и я п е р в о о б р а з н о й: всякая непрерывная функция f (x) имеет первообразные, одной из которых является интеграл с переменным верхним пределом (5.29).

Случай, когда определённый интеграл имеет переменный нижний предел и постоянный верхний предел интегрирования, легко приводится к рассмотренному, если воспользоваться свойством 2 определённого интеграла из п.5.9.


^ 5.12. Несобственные интегралы первого рода


Обобщим теперь понятие определённого интеграла на случай бесконечной области интегрирования, используя для этого интеграл с переменным верхним или нижним пределом интегрирования и определение односторонних пределов функции в бесконечности из п.2.6.

О п р е д е л е н и е. Определённый интеграл называется несобственным интегралом первого рода, если хотя бы один из пределов интегрирования a и b равен бесконечности, а функция f (x) является непрерывной на соответствующем бесконечном промежутке.

Для несобственных интегралов первого рода по определению принимают следующие равенства:

, (5.31)

, (5.32)

, c – любое число. (5.33)

Если пределы в правой части равенств (5.31) и (5.32) существуют и конечны, то говорят, что несобственные интегралы сходятся, в противном случае – расходятся. В равенстве (5.33) интеграл в левой части сходится, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части при произвольном значении числа c.

На несобственные интегралы первого рода переносятся основные свойства определённого интеграла 1-6 из п.5.9, которые сохраняются при предельном переходе. Теорема о среднем значении функции здесь, очевидно, теряет смысл.

Само вычисление несобственных интегралов основано на их определениях. Если через F(x) обозначить первообразную для f (x), то из определений (5.31) и (5.32) следует:

–, (5.34)

F(–∞), F(+∞) – F(–∞), (5.35)

где F(+∞) = и F(–∞) = есть условные обозначения этих пределов.

Формулы (5.34) и (5.35) называются обобщёнными формулами Ньютона – Лейбница. Определённый интеграл с переменным верхним пределом и несобственные интегралы первого рода используются в теории вероятностей.


^ 5.13. Вычисление площади плоской фигуры


1. Пусть фигура имеет вид криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a, x = b, y = 0 и графиком функции на отрезке [a, b] (рис.60). Согласно формуле (5.19) п.5.8 площадь S такой фигуры вычисляется по формуле:

. (5.36)

2. Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями x = a, x = b, y = 0 и графиком функции на отрезке [a, b] (рис.61). Отобразим трапецию симметрично относительно оси Ox. Получим равновеликую трапецию, ограниченную сверху графиком функции (рис.61), для которой по формуле (5.36) площадь S будет равной значению

. (5.37)

3. Пусть фигура ограничена прямыми x = a, x = b, y = 0 и графиком функции , где f (x) меняет знак на отрезке [a, b] (рис.62).

В этом случае отрезок [a, b] следует разбить точками x = c и x = d на части, соответствующие двум первым случаям, затем применить к ним формулы (5.36) и (5.37) соответственно. После этого

площадь S всей фигуры будет равна сумме площадей её частей:

. (5.38)

4. Вычислим теперь площадь фигуры, ограниченной прямыми x = a, x = b и графиками функций и , где и x  [a, b] (рис.63). В частных случаях боковые отрезки могут вырождаться в точки.

Согласно рассмотренным выше случаям 1-3, для любого расположения кривых и , ниже или выше оси ^ Ox, при условии формула для площади S фигуры имеет вид:


. (5.39)

5. Пусть, наконец, криволинейная трапеция на рис. 60 ограничена сверху кривой, заданной параметрическими уравнениями

x = x(t), y = y(t), (5.40)

где и x() = a, x() = b. Пусть уравнения (5.40) определяют некоторую функцию на отрезке [a, b] и, следовательно, площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле (5.36):

. (5.41)

Сделаем замену переменной в этом интеграле: x = x(t), dx = x'(t) dt. На основании уравнений (5.40) получим:

. (5.42)

Это и есть формула для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрически.


^ 5.14. Определение определённого интеграла как

предела интегральной суммы


Выше, в п.5.7, мы ввели понятие определённого интеграла от функции f (x) как приращение её первообразной. Дадим теперь строгое аналитическое определение определённого интеграла, впервые данное для непрерывной функции в 1823 г. французским математиком О. Коши (1789 – 1857). Позднее немецкий математик Б. Риман (1826 – 1866) показал, что определение, данное О. Коши, применимо к более широкому классу функций. Это позволило ему впервые высказать в общей форме определение определённого интеграла и установить условия его существования.

О п р е д е л е н и е. Пусть функция f (x) определена на отрезке [a, b], где a, b – конечные числа и a < b. Проделаем следующие операции.

1. Разобьём отрезок [a, b] произвольным образом на n частей точками

a = x0 < x1 < x2 < … < xk-1 < xk < … < xn = b.

Обозначим через Δxk = xkxk-1 длину k-го отрезка k = 1, 2, …, n. Наибольшую из длин Δxk обозначим λ = {Δxk}, , и назовём число λ рангом разбиения отрезка [a, b] на части.

2. На каждом отрезке [xk-1, xk] возьмём произвольно точку ξk («кси») и вычислим в ней значение функции fk), k = 1, 2, …, n.

3. Найдём все произведения вида fk) Δxk и составим их сумму

σn = f1x1 + f2x2 +…+ fkxk +…+ fnxn = ,

где означает сумму однотипных слагаемых, отличающихся индексом суммирования k. Сумма σn называется интегральной суммой или суммой Римана для функции f (x) на отрезке [a, b].

4. Будем неограниченно увеличивать число n разбиений отрезка [a, b] на части так, чтобы при ∞ выполнялось условие 0 (ранг разбиения стремился к нулю).

^ Если при этом процессе существует конечный предел интегральной суммы, не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a, b] на части, ни от способа выбора точек в каждой из частей, то этот предел называется определённым интегралом от функции f (x) на отрезке [a, b] и обозначается:

. (5.43)

Положив в основу это определение и рассмотрев определённый интеграл с переменным верхним пределом, можно доказать формулу Ньютона – Лейбница, которая выше была принята за определение определённого интеграла. Тем самым устанавливается эквивалентность этих двух определений.

Т е о р е м а с у щ е с т в о в а н и я о п р е д е л ё н н о г о и н т е- г р а л а. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] или имеет на нём конечное число точек разрыва первого рода, то определённый интеграл (5.43) существует.

Решение многих практических задач приводит к составлению интегральной суммы, которая приближённо описывает изучаемую величину, и последующему вычислению предела этой суммы, т. е. к вычислению соответствующего определённого интеграла.






Похожие:

Интегральное исчисление первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла icon24. Первообразная. Неопределенный интеграл
В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f (Х) необходимо найти ее производную. Интегральное исчисление решает...
Интегральное исчисление первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла iconКонспект по датам. Лекция 1: 10 февраля Глава Неопределённый интеграл опр и свойства
Определение первообразной, Свойства: что F+C тоже перв. (Док-ть), что разность двух первообр = C. Определение неопр интеграла. Свойства...
Интегральное исчисление первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла iconЛекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно...
Интегральное исчисление первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла iconСвойства неопределенного интеграла
Функция называется первообразной для функции на промежутке, если в любой точке этого промежутка
Интегральное исчисление первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла iconНеопределенный интеграл. Примеры решений
Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом Неопределенный...
Интегральное исчисление первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла iconНеопределенный интеграл. Подробные примеры решений
На данном уроке мы начнем изучение темы Неопределенный интеграл, а также подробно разберем примеры решений простейших (и не совсем)...
Интегральное исчисление первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла icon§ поверхностный интеграл I рода (по площади поверхности)
Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла, каким криволинейный интеграл I рода является...
Интегральное исчисление первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла iconТема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования
Для всякой математической операции прямого действия всегда существует операция обратного действия. Сложение и вычитание, умножение...
Интегральное исчисление первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла icon1. Исчисление кортежей Исчисление доменов
Лекция: Базисные средства манипулирования реляционными данными: реляционное исчисление
Интегральное исчисление первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла iconЗадача приводящая к понятию криволинейного интеграла. Определение криволинейного интеграла по координатам
Займемся обобщением понятия определенного интеграла на случай когда путь интегрирования – кривая кривая. Т/н. А-работу силы при перемещении...
Разместите ссылку на наш сайт:
Уроки, сочинения


База данных защищена авторским правом ©izlov.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
связаться с нами