Лекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл icon

Лекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл



НазваниеЛекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл
Дата17.10.2016
Размер
ТипЛекция

Тема 3.

Интегральное исчисление функции одной переменной


Лекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл.


12.1. Первообразная функция.


Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F?(x) = f(x).


Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F1(x) = F2(x) + C.


^ 12.2. Неопределенный интеграл.


Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:


Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.


Свойства:


1.

2.

3.

4. где u, v, w – некоторые функции от х.




Пример:


Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.


12.3. Таблица основных интегралов.


Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.




Интеграл

Значение

Интеграл

Значение

1




-ln?cosx?+C

9




ex + C

2




ln?sinx?+ C

10




sinx + C

3






11




-cosx + C

4






12




tgx + C

5







13




-ctgx + C

6




ln

14




arcsin + C

7







15







8






16








^ 12.4. Непосредственное интегрирование.


Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.


Лекция 13. Основные методы интегрирования.


13.1. Способ подстановки (замены переменных).


Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = ?(t) и dx = ??(t)dt получается:


Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:

f(x)dx = f[?(t)]??(t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.


Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.


Пример.

Замена Получаем:


Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.


^ 13.2. Интегрирование по частям.


Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv)? = u?v + v?u

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu


Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

или ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.


Пример.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.


Пример.


Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.


Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.


Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.


^ Пример.


Пример.


Пример.


Пример.


Пример.


Пример.


Пример.


Пример.

Пример.




Пример.


13.3. Интегрирование элементарных дробей.


Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:


I. III.


II. IV.

m, n – натуральные числа (m ? 2, n ? 2) и b2 – 4ac <0.


Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.





II.


Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.

Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:

Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам.


Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.


Пример.


Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.


Пример.




Пример.


Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.


Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.

Тогда интеграл вида можно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить в виде . Сделаем следующее преобразование:

.

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

Обозначим:

Для исходного интеграла получаем:


Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то получится табличный интеграл .


Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.


В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2 + s приводится к табличному , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.


Пример:


^ 13.4. Интегрирование рациональных функций.





Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.


Теорема: Если - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a)?…(x - b)?(x2 + px + q)?…(x2 + rx + s)? ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:


где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.


Пример.

Т.к. (, то

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:











Итого:


Пример.





Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль.

Таким образом:

3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1).

Тогда:


Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:



Окончательно получаем:


=


Пример.


Найдем неопределенные коэффициенты:








Тогда значение заданного интеграла:


Лекция 14. Основные методы интегрирования (продолжение).


14.1. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.


Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.


^ Интеграл вида .


Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

,

Тогда

Таким образом:


Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.


Пример.

Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.


Пример.


^ Интеграл вида если

функция R является нечетной относительно cosx.


Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.



Функция может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.


Пример.

Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.


^ Интеграл вида если

функция R является нечетной относительно sinx.


По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.

Тогда


Пример.

Интеграл вида

функция R четная относительно sinx и cosx.


Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка

t = tgx.

Тогда


Пример.


^ Интеграл произведения синусов и косинусов

различных аргументов.


В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:


Пример.


Пример.


Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.


Пример.


Пример.


Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.


^ Пример.


Итого




14.2. Интегрирование некоторых иррациональных функций.


Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.


^ Интеграл вида где n- натуральное число.


С помощью подстановки функция рационализируется.

Тогда


Пример.


Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Проиллюстрируем это на примере.


^ Пример.


14.4. Интегрирование биноминальных дифференциалов.


Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение

xm(a + bxn)pdx

где m, n, и p – рациональные числа.


Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:


  1. Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки

, где ? - общий знаменатель m и n.


  1. Если - целое число, то интеграл рационализируется подстановкой

, где s – знаменатель числа р.


3) Если - целое число, то используется подстановка , где s – знаменатель числа р.


Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.

На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.


^ Интегралы вида .


Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.

Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:

Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:









1 способ. Тригонометрическая подстановка.


Теорема: Интеграл вида подстановкой или

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

Пример:


Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.


Пример:


Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.

Пример:


^ 2 способ. Подстановки Эйлера. (1707-1783)


  1. Если а>0, то интеграл вида рационализируется подстановкой

.


  1. Если a<0 и c>0, то интеграл вида рационализируется подстановкой .




  1. Если a<0 , а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(xx1)(xx2), то интеграл вида рационализируется подстановкой .


Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования,

т.к. даже при несложных подынтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.


^ 3 способ. Метод неопределенных коэффициентов.


Рассмотрим интегралы следующих трех типов:

где P(x) – многочлен, n – натуральное число.


Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду интеграла I типа.


Далее делается следующее преобразование:


в этом выражении Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже степени многочлена P(x), а ? - некоторая постоянная величина.

Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части полученного выражения, затем умножают на и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют ? и коэффициенты многочлена Q(x).

Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция является производной подкоренного выражения.


Пример.


.

Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.

=

=


Итого =

=


Пример.


Пример.


^ Второй способ решения того же самого примера.


С учетом того, что функции arcsin и arccos связаны соотношением , а постоянная интегрирования С – произвольное число, ответы, полученные различными методами, совпадают.

Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.





^ Пример.


14.5. Несколько примеров интегралов, не выражающихся через

элементарные функции.


К таким интегралам относится интеграл вида , где Р(х) - многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.

Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.

Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:


  1. - интеграл Пуассона ( Симеон Дени Пуассон – французский математик (1781-1840))

  2. - интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель – французский ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)

  3. - интегральный логарифм

  4. - приводится к интегральному логарифму

  5. - интегральный синус

  6. - интегральный косинус




Лекция 15. Определённый интеграл.


15.1. Введение понятия определённого интеграла.


Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x).


y

M


m


0 a xi b x


Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b]

Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.

x0 < x1 < x2 < … < xn

Тогда x1x0 = ?x1, x2x1 = ?x2, … ,xnxn-1 = ?xn;

На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции.


[x0, x1] ? m1, M1; [x1, x2] ? m2, M2; … [xn-1, xn] ? mn, Mn.


Составим суммы:

n = m1?x1 + m2?x2 + … +mn?xn =

n = M1?x1 + M2?x2 + … + Mn?xn =

Сумма называется нижней интегральной суммой, а сумма верхней интегральной суммой.

Т.к. mi ? Mi, то n ? n, а m(b – a) ? n ? n ? M(b – a)


Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку ?.

x0 < ?1 < x1, x1 < ? < x2, … , xn-1 < ? < xn.


Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].


Sn = f(?1)?x1 + f(?2)?x2 + … + f(?n)?xn =

Тогда можно записать: mi?xi ? f(?i)?xi ? Mi?xi


Следовательно,


Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной.

Обозначим max?xi – наибольший отрезок разбиения, а min?xi – наименьший. Если max?xi? 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности.


Если , то


Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что max?xi? 0 и произвольном выборе точек ?i интегральная сумма стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b].


Обозначение :

а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.


Определение: Если для функции f(x) существует предел то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].


Также верны утверждения:




Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.


15.2. Свойства определенного интеграла.








  1. Если f(x) ? ?(x) на отрезке [a, b] a < b, то




  1. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то:




  1. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка ? такая, что



Доказательство: В соответствии со свойством 5:

т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, существует такое число ?? [a, b], что если

и ? = f(?), а a ? ? ? b, тогда . Теорема доказана.


7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:

Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.


8)


Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и ?(x) непрерывны на отрезке [a, b], и функция ?(х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка ?, такая, что


^ 15.3. Теорема Ньютона-Лейбница.


Пусть в интеграле нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла.

Обозначим = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х.

Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела.


Теорема: Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл.


Теорема: (Теорема Ньютона – Лейбница)

Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то

это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница.


Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то

при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:


Тогда .

А при х = b:

Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:

Теорема доказана.


Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x).

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.


^ 15.4. Замена переменных.


Пусть задан интеграл , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b].

Введем новую переменную в соответствии с формулой x = ?(t).

Тогда если

1) ?(?) = а, ?(?) = b

2) ?(t) и ??(t) непрерывны на отрезке [?, ?]

3) f(?(t)) определена на отрезке [?, ?], то

Тогда


Пример.


При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.


Пример.


, с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,

Т.е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная tgx имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке х = ?/2). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.





^ 15.5. Интегрирование по частям.


Если функции u = ?(x) и v = ?(x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше, поэтому здесь приводить его нет смысла.


^ Лекция 16. Приближенное вычисление определенного интеграла.


Как было сказано выше, существует огромное количество функций, интеграл от которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что подынтегральная функция заменяется “близкой” к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции.


^ 16.1. Формула прямоугольников.


Если известны значения функции f(x) в некоторых точках x0, x1, … , xm, то в качестве функции “близкой” к f(x) можно взять многочлен Р(х) степени не выше m, значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках.

Если разбить отрезок интегрирования на n равных частей . При этом:

y0 = f(x0), y1 = f(x1), …. , yn = f(xn).

Составим суммы: y0?x + y1?x + … + yn-1?x

y1?x + y2?x + … + yn?x

Это соответственно нижняя и верхняя интегральные суммы. Первая соответствует вписанной ломаной, вторая – описанной.

Тогда или

- любая из этих формул может применяться для приближенного вычисления определенного интеграла и называется общей формулой прямоугольников.





^ 16.2. Формула трапеций.


Эта формула является более точной по

у сравнению с формулой прямоугольников.

Подынтегральная функция в этом случае

заменяется на вписанную ломаную.


y1 у2 уn

a x1 x2 b x


Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек n разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл.


Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:


После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:


^ 16.3. Формула парабол

(формула Симпсона или квадратурная формула).


(Томас Симпсон (1710-1761)- английский математик)


Разделим отрезок интегрирования [a, b] на четное число отрезков (2m). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x) заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями f(x0), f(x1), f(x2).

Для каждой пары отрезков построим такую параболу.

у


0 х0 х1 х2 х3 х4 х


Уравнения этих парабол имеют вид Ax2 + Bx + C, где коэффициенты А, В, С могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.

(1)

Обозначим .

Если принять х0 = -h, x1 = 0, x2 = h, то (2)

Тогда уравнения значений функции (1) имеют вид:

C учетом этого: .

Отсюда уравнение (2) примет вид:

Тогда


Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:

Чем больше взять число m, тем более точное значение интеграла будет получено.


Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла

с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей.


По формуле Симпсона получим:



m

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10




x

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

f(x)

2.828

3.873

4

4.123

4.899

6.557

8.944

11.87

15.23

18.94

22.97



Точное значение этого интеграла – 91.173.


Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.


Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.

Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.

Кроме вышеперечисленных способов, можно вычислить значение определенного интеграла с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд.

Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму.


Пример. С точностью до 0,001 вычислить интеграл


Т.к. интегрирование производится в окрестности точки х=0, то можно воспользоваться для разложения подынтегральной функции формулой Маклорена.

Разложение функции cos x имеет вид:


Зная разложение функции cos х легко найти функцию 1 – cos x:


В этой формуле суммирование производится по п от 1 до бесконечности, а в предыдущей – от 0 до бесконечности. Это – не ошибка, так получается в результате преобразования.


Теперь представим в виде ряда подынтегральное выражение.


Теперь представим наш интеграл в виде:


В следующем действии будет применена теорема о почленном интегрировании ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов ряда).

Вообще говоря, со строго теоретической точки зрения для применения этой теоремы надо доказать, что ряд сходится и, более того, сходится равномерно на отрезке интегрирования [0, 0,5]. Эти вопросы будут подробно рассмотрены позже (См. Действия со степенными рядами). Отметим лишь, что в нашем случае подобное действие справедливо хотя бы по свойствам определенного интеграла (интеграл от суммы равен сумме интегралов).


Итак:


Итого, получаем:


Как видно, абсолютная величина членов ряда очень быстро уменьшается, и требуемая точность достигается уже при третьем члене разложения.


Для справки: Точное (вернее – более точное) значение этого интеграла: 0,2482725418…


Лекция 17. Несобственные интегралы.


17.1. Интегралы с бесконечными пределами.


Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ?). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b].


Определение: Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ?).

Обозначение:


Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.


Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:


Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.


^ Пример.

- не существует.

Несобственный интеграл расходится.


Пример.


- интеграл сходится


Теорема: Если для всех х (x ? a) выполняется условие и интеграл сходится, то тоже сходится и ? .


Теорема: Если для всех х (x ? a) выполняется условие и интеграл расходится, то тоже расходится.


Теорема: Если сходится, то сходится и интеграл .

В этом случае интеграл называется абсолютно сходящимся.


^ 17.2. Интеграл от разрывной функции.


Если в точке х = с функция либо неопределена, либо разрывна, то

Если интеграл существует, то интеграл - сходится, если интеграл не существует, то - расходится.


Если в точке х = а функция терпит разрыв, то .

Если функция f(x) имеет разрыв в точке b на промежутке [a, с], то

Таких точек внутри отрезка может быть несколько.

Если сходятся все интегралы, входящие в сумму, то сходится и суммарный интеграл.


Лекция 18. Приложения определенного интеграла.


18.1. Вычисление площадей плоских фигур.


у


+ +


0 a - b x


Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

Для нахождения суммарной площади используется формула .

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.


Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.


Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед2)


18.2. Нахождение площади криволинейного сектора.


? = f(?)


?




О ? ?



Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид ? = f(?), где ? - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а ? - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси.

Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле


^ 18.3. Вычисление длины дуги кривой.


y y = f(x)


?Si ?yi

?xi


a b x


Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .

Тогда длина дуги равна .

Из геометрических соображений:

В то же время

Тогда можно показать, что

Т.е.

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной, получаем

,

где х = ?(t) и у = ?(t).

Если задана пространственная кривая, и х = ?(t), у = ?(t) и z = Z(t), то


Если кривая задана в полярных координатах, то

, ? = f(?).


Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.


1 способ. Выразим из уравнения переменную у.

Найдем производную

Тогда

Тогда S = 2?r. Получили общеизвестную формулу длины окружности.


2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r2cos2? + r2sin2? = r2, т.е. функция ? = f(?) = r, тогда


^ 18.4. Вычисление объемов тел.


Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.


Q(xi-1)

Q(xi)


a xi-1 xi b x


Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки хi разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [xi-1, xi] функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно Mi и mi.

Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны Mi?xi и mi?xi здесь ?xi = xi - xi-1.

Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно и .

При стремлении к нулю шага разбиения ?, эти суммы имеют общий предел:

Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:

Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных тел.


Пример: Найти объем шара радиуса R.

y


R y


-R 0 x R x


В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле .

Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) = .

Получаем объем шара:

.


Пример: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.


Q S


x H x


При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x/H, где х – расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.

Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.

Отсюда получаем функцию площадей сечений:

Находим объем пирамиды:


^ 18.5. Объем тел вращения.


Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.


y = f(x)


x


Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:


^ 18.6. Площадь поверхности тела вращения.


Мi B


А


х

xi


Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.


Разобьем дугу АВ на n частей точками M0, M1, M2, … , Mn. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты xi и yi. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна ?Pi. Эта площадь может быть найдена по формуле:

Здесь ?Si – длина каждой хорды.

Применяем теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа) к отношению .

Получаем:

Тогда



Площадь поверхности, описанной ломаной равна:

Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что

Тогда - формула для вычисления площади поверхности тела вращения.



Похожие:

Лекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл iconНеопределенный интеграл. Примеры решений
Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом Неопределенный...
Лекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл iconИнтегральное исчисление первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла
В интегральном исчислении решается обратная задача: для заданной функции f (X) требуется найти такую функцию f (X), для которой f...
Лекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл iconНеопределенный интеграл. Подробные примеры решений
На данном уроке мы начнем изучение темы Неопределенный интеграл, а также подробно разберем примеры решений простейших (и не совсем)...
Лекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл icon24. Первообразная. Неопределенный интеграл
В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f (Х) необходимо найти ее производную. Интегральное исчисление решает...
Лекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл iconКонспект по датам. Лекция 1: 10 февраля Глава Неопределённый интеграл опр и свойства
Определение первообразной, Свойства: что F+C тоже перв. (Док-ть), что разность двух первообр = C. Определение неопр интеграла. Свойства...
Лекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл iconТема 1 Неопределенный интеграл
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала функции. В интегральном исчислении...
Лекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл iconТема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования
Для всякой математической операции прямого действия всегда существует операция обратного действия. Сложение и вычитание, умножение...
Лекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл iconI. Неопределенный интеграл
На основании формулы при этом решается задача нахождения дифференциала функции. Рассмотрим теперь обратные операции, осуществляющие...
Лекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл icon§ поверхностный интеграл I рода (по площади поверхности)
Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла, каким криволинейный интеграл I рода является...
Лекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл iconОпределенный интеграл. Примеры решений
И снова здравствуйте. На данном уроке мы подробно разберем такую замечательную вещь, как определенный интеграл. На этот раз вступление...
Разместите ссылку на наш сайт:
Уроки, сочинения


База данных защищена авторским правом ©izlov.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
связаться с нами