Контрольная работа По дисциплине «Экономико-Математические методы и прикладные модели» Вариант №6 Исполнитель icon

Контрольная работа По дисциплине «Экономико-Математические методы и прикладные модели» Вариант №6 Исполнитель



НазваниеКонтрольная работа По дисциплине «Экономико-Математические методы и прикладные модели» Вариант №6 Исполнитель
Специальность
Дата17.10.2016
Размер
ТипКонтрольная работа


ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ


Контрольная работа

По дисциплине « Экономико-Математические методы

и прикладные модели»

Вариант №6


Исполнитель:

Специальность:

Группа:

№ зачетной книжки

Руководитель:


Владирир,2009 г.

Задача №1. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации

Финансовый консультант фирмы «АВС» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25000$) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».

Анализируются акции «Дикси –Е» и «Дикси –В». Цены на акции: «Дикси –Е» - 5$ за акцию; «Дикси –В» - 3$ за акцию.

Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук.

По оценкам «АВС» прибыль от инвестиций в эти две акции в следующем году составит: «Дикси –Е» - 1,1$; «Дикси –В» - 0,9$.

Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

Решение

Пусть х1 – количество акций «Дикси-Е», а х2 – количество акций «Дикси-В».

Согласно условию:

5*x1 + 3*x2 25000 – клиент хочет вложить не более 25000$.

x1 +x2 6000–максимальное количество акций обоих типов 6000 шт.

x1 5000 , x2 5000 –максимальное количество акций одного типа 5000 шт.

1,1* x1+0,9* x2 –прибыль от владения акциями

Таким образом, экономико-математическая модель имеет вид.


F(x) =1,1* x1+0,9* x2 → mах


При следующих ограничениях:


5*x1 + 3*x2 25000 - I

x1 +x2 6000- II

x1 5000 – III

x2 ≥ 5000 IV

x1 ≥ 0 V

x2 ≥ 0 VI


Этап 1. Определим множество решений первого неравенства. Оно состоит из решений уравнения и строгого неравенства. Решением уравнения служат точки прямой 5x1 +3 x2 = 25000 .

Данной прямой принадлежат точки: при х1 = 0; х2 = 8333.33 т.е. точка с координатами (0;8333.33) и при х2 = 0; х1 = 5000 т.е. точка с координатами (5000; 0)

Построим прямую по двум точкам (0;8333.33) и (5000; 0). На графике обозначим эту прямую цифрой I.

Множество решений строгого неравенства есть одна из полуплоскостей, на которую делит плоскость построенная прямая. В качестве контрольной точки возьмем начало координат 0 < 25000. Неравенство выполняется. Значит областью допустимых решений (ОДР) неравенства является нижняя полуплоскость.


Аналогичным образом определим ОДР других неравенств.

Прямой x1 +x2 = 6000 принадлежат точки х1 = 0 х2 = 6000 (0; 6000) и х2 = 0 х1 = 6000 (6000; 0)

Построим прямую по двум точкам (0;6000) и (6000; 0). На рисунке обозначим эту прямую цифрой II. Множество решений неравенства нижняя полуплоскость, т.к. 0 < 6000 (неравенство выполняется). Значит областью допустимых решений (ОДР) неравенства является нижняя.


Прямая x1 =5000 параллельна оси ОУ. На рисунке обозначим эту прямую цифрой III. Множество решений неравенства левая полуплоскость.

Прямая x2 =5000 параллельна оси ОХ. На рисунке обозначим эту прямую цифрой IV. Множество решений неравенства нижняя полуплоскость.


x1 ≥ 0 V и x2 ≥ 0 VI Означает, что решение системы неравенств находится в первой координатной четверти.


Заштрихуем общую область для всех неравенств, обозначим вершины буквами АВСДО. Так как ОДР ограниченна, то функция имеет максимум и минимум.


Найдем координаты этих точек:

Точка А с координатами (0;5000) т.е. А(0;5000)


Точка В находится на пересечении прямых II и IV следовательно для нахождения ее координат запишем систему уравнений:


x1 + x2 = 6000

x2 = 5000

Решая эту систему уравнений находим координаты точки В

х2=5000

x1=1000

В(1000;5000)


Точка C находится на пересечении прямых I и II следовательно для нахождения ее координат запишем систему уравнений:




5*x1 + 3*x2 25000 - I

x1 +x2 6000- II


Решая эту систему уравнений находим координаты точки C

3*х1+3х2=18000

1+3х2=25000

1+3х2-5х1-3х2=18000-25000=-7000

-2х1=-7000

х1=3500

х2=6000-3500=2500

C(3500;2500)

Координаты точки Д находятся на пересечении прямой II с осью координат входящей в ОДЗ, а именно (5000;0)

Д (5000;0)


Находим значения целевой функции в этих точках

F(A) = 1,1*0+0,9*5000=4500

F(B) = 1,1*1000+0,9*5000=5600

F(C) =1,1*3500+0,9*2500=6100

F(Д) = 1,1*5000+0,9*0=5500

Этап 2.

Приравниваем целевую функцию постоянной величине «а»:

1,1x1 +0,9x2 = а

это уравнение – множество точек, в которых F(x) принимает значения равное «а», получим семейство параллельных прямых каждая из которых называется линией уровня.

Пусть а = 0.

Вычислим координаты двух точек G (3600;-4400), О (0;0), построим прямую ОG.


Этап 3.

Для определения направления движения к оптимальному плану построим вектор – градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции, т.е. С (С12); С(1,1;0,9).

Построим вектор, соединив точки (1,1; 0,9 ) с началом координат.

При максимизации целевой функции необходимо передвигать линию уровня в направлении вектора градиента, а при минимизации в противоположном. Последняя точка ОДЗ, которую пересечет линия уровня и будет точкой максимума (или соответственно минимума).




Рис. 1. Графическое решение типовой задачи оптимизации

Таким образом, мах F=F(С)=6100. Максимальная прибыль будет получена при покупке 3500 шт. акций «Дикси-Е», и 2500 шт. акций «Дикси-В».

При минимизации функции получаем, что минимальная прибыль составляет 0, при отказе от покупки акций.


Задача №2. Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования1.

Для изготовления трех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Таблица 1

Исходные данные


Тип сырья

Нормы расхода сырья на одно изделие



Запасы

сырья

А

Б

В


I

II

III



18

6

5



15

4

3



12

8

3



360

192

180


Цена изделия

9

10

16




Требуется:

  1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

  2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

  3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

  4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

  • проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

    • определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 45кг, а II - уменьшить на 9кг;

    • оценить целесообразность включения в план изделия "Г" ценой 11ед., на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6кг соответствующего вида сырья.


Решение

1. Постановка экономической задачи

Обозначим через х1 –количество изделий А,

х2 –количество изделий Б,

х3 –количество изделий В.


Ограничение 1: запас сырья I типа не более 360:

18*х1 +15*х2 +12*х3360

Ограничение 2: запас сырья II типа не более 192:

6*х1 +4*х2 +8*х3192

Ограничение 3: запас сырья III типа не более 180:

5*х1 +3*х2 +3*х3180

Ограничение 4: количество изделий не может быть отрицательным:

xi. 0,

Целевая функция : максимум выручки:

9*х1+10*х2+16*х3мах.





Описание компьютерной информационной технологии получения оптимального решения



Рис. 2. Формулы расчета



Рис. 3. Поиск решения и результаты расчета


Получен оптимальный план:

х1=0

х2=8

х3=20


      1. Сформулируем двойственную задачу и найдем ее оптимальный план.

11 + 6у2 + 5у3 9

15у1 + 4у2 + 8у3 10

12у1 +8у2 + 3у3 16

уj ≥ 0 j=1,3

F*=360*у1+192*у2+180*у3→ min


Проверим как удовлетворяет система функциональных ограничений оптимальным планом Х* (0,74,32)

0*18 + 8*15 + 20*12=360 = 360

0*6 + 8*4 + 20*8 =192=192

0*5 + 8*3 + 20*3 =84<180

По второй теореме двойственности, так как третье неравенство выполняется как строгое неравенство, то у3=0. Так как х2 ≥ 0 и х3 ≥ 0, то берем второе и третье неравенства:




15у1 + 4у2 + 8*0= 10

12у1 +8у2 + 3*0 = 16


2*15у1+2*4у2=2*10

12у1+8у2=16


30у1+8у2-12у1-8у2=20-16

18у1=4

у1=4/18=0,222

у2=(10-15*0,22)/4=1,67

F*=360*0,222+192*1,67+180*0=400

Так как мах F= min F*, то согласно первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.


3. Нулевые значения переменных в оптимальном плате означают, что продукция данных видов (А) не выпускается.


4.Увеличение запасов сырья I-ого типа увеличит максимальную выручку на 0,22 у.д.е., увеличение запасов сырья II-ого типа увеличит максимальную выручку на 1,67 у.д.е, увеличение запасов сырья III-го типа не изменит выручку. Таким образом, наиболее дефицитен II-й тип сырья, наименее I-й тип.

Норма заменяемости I и II типа сырья 0.22 к 1.67.

Предполагая, что изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок, имеем


0*18 + х2 *15 + х3*12=360+45=405

0*6 + х2 *4 + х3*8=192-9=183


Отсюда определяем план выпуска в новых условиях:

15*4х2 + 12*4* х3-15*4 х2 – 8*15* х3=405*4-183*15=-1095

(48-120)х3=-1125

х3=1125/72=15.625

х2 =(405-15.625*12)/15=14.500

Соответственно выручка составит:

F= 10*14.500+16*15.625=395

F=400-395= -5

Используя двойственные оценки имеем:

0.22*45-1.67*9= -5


В том и в другом случае выручка уменьшилась на 5.


Если ∆j =∑ai y* - cj ≤ 0 выгодно производить новые изделия, если ∆j › 0, то не выгодно.

j = 9*0,22+4*1,67+6*0-11=-2,34

Значит включение нового изделия выгодно.

^ Задача 4. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице

Таблица 2

Исходные данные

Номер наблюдения ( t = 1,2,…,9)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

12

15

16

19

17

20

24

25

28

Требуется:

1) Проверить наличие аномальных наблюдений.

2) Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

4) Построить адаптивную модель Брауна2 с параметром сглаживания = 0,4 и = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания α.

5) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

6) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

7) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

8) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение

1. Проверка аномальных наблюдений

Необходимой предпосылкой корректного использования статистических методов анализа является однородность совокупности. Неоднородность совокупности возникает вследствие значительной вариации значений признака или попадания в совокупность резко выделяющихся, так называемых “аномальных” наблюдений. Для их выявления используем правило трех сигм, которое состоит в том, что “аномальными” будут те наблюдения, у которых значения анализируемого признака будут выходить за пределы интервала, т.е.:



где

- среднее значение результативного показателя,

- среднее квадратическое отклонение по результативному показателю:

у- значение результативного показателя.

Расчеты произведем в таблице 1.





В таблице соотношение выполняется для всех наблюдений. Таким образом, аномальных наблюдений нет.

Таблица 3

N п/п

У







1

12,0

-7,6

7,6

57,8

2

15,0

-4,6

4,6

21,2

3

16,0

-3,6

3,6

13,0

4

19,0

-0,6

0,6

0,4

5

17,0

-2,6

2,6

6,8

6

20,0

0,4

0,4

0,2

7

24,0

4,4

4,4

19,4

8

25,0

5,4

5,4

29,2

9

28,0

8,4

8,4

70,6

Итого

176,0

-0,4

37,6

218,6

Среднее значение

19,6

 

 

24,3


2. Линейная однофакторная модель отображается уравнением прямо­линейной функции:



Параметры уравнения а0, а1 можно найти по следующим формулам:

,

где

Для нахождения параметров уравнения произведем расчеты в таблице 4.

Таблица 4

Расчеты для нахождения параметров уравнения регрессии



у

t







4*5



1

2

3

4

5

6

7

8

1

12,0

1,0

-7,6

-4,0

16,0

30,4

12,0

2

15,0

2,0

-4,6

-3,0

9,0

13,8

13,9

3

16,0

3,0

-3,6

-2,0

4,0

7,2

15,8

4

19,0

4,0

-0,6

-1,0

1,0

0,6

17,7

5

17,0

5,0

-2,6

0,0

0,0

0,0

19,6

6

20,0

6,0

0,4

1,0

1,0

0,4

21,5

7

24,0

7,0

4,4

2,0

4,0

8,8

23,4

8

25,0

8,0

5,4

3,0

9,0

16,2

25,3

9

28,0

9,0

8,4

4,0

16,0

33,6

27,2

Итого

176,0

45,0

-0,4

0,0

60,0

111,0

176,4

19,6

5,0

,

19,6-1,9*5.0=10,1

Однофакторная модель имеет вид:

=10,1+1,9*t


3. Расчет адаптивных моделей Брауна произведем по формулам:

Адаптивные модели Брауна при = 0,7; = 0,4 рассчитаны по формулам:



4. Расчеты и оценка адекватности моделей Брауна проведены в таблицах 5 и 6. Лучшие значения α выберем после оценки моделей.

Таблица 5

= 0,7

 t

 y

 a0

 a1

 yp

 Е

 Поворотная

точка

 е2

 



 

 

0

 

10,1

1,9

 

 

 

 

 

 

 

 

1

12

12

1,9

12

0

 

0

 

 

 

0,0

2

15

14,9

2,4

13,9

1,1

1

1,2

1,1

1,2

0

7,3

3

16

16,1

1,8

17,3

-1,3

1

1,7

-2,4

5,8

-1,4

8,1

4

19

18,9

2,3

17,9

1,1

1

1,2

2,4

5,8

-1,4

5,8

5

17

17,4

0,2

21,2

-4,2

 

17,6

-5,3

28,1

-4,6

24,7

6

20

19,8

1,4

17,6

2,4

 

5,8

6,6

43,6

-10,1

12,0

7

24

23,7

2,8

21,2

2,8

1

7,8

0,4

0,2

6,7

11,7

8

25

25,1

2,1

26,5

-1,5

1

2,3

-4,3

18,5

-4,2

6,0

9

28

27,9

2,5

27,2

0,8

 

0,6

2,3

5,3

-1,2

2,9

Итого

 

 

 

 

 

5

38,2

 

108,5

-16,2

78,5


Таблица 6

= 0,4

 t

 y

 a0

 a1

 yp

 E

 Поворотная

точка

 е2

 



 

 

0

 

10,1

1,9

 

 

 

 

 

 

 

 

1

12

12

1,9

12

0

 

0

 

 

 

0,0

2

15

14,6

2,1

13,9

1,1

1

1,2

1,1

1,2

0

7,3

3

16

16,3

2

16,7

-0,7

1

0,5

-1,8

3,2

-0,8

4,4

4

19

18,7

2,1

18,3

0,7

1

0,5

1,4

2

-0,5

3,7

5

17

18,4

1,5

20,8

-3,8

1

14,4

-4,5

20,3

-2,7

22,4

6

20

20

1,5

19,9

0,1

 

0

3,9

15,2

-0,4

0,5

7

24

23,1

1,9

21,5

2,5

1

6,3

2,4

5,8

0,3

10,4

8

25

25

1,9

25

0

1

0

-2,5

6,3

0

0,0

9

28

27,9

2,1

26,9

1,1

 

1,2

1,1

1,2

0

3,9

Итого

 

 

 

 

 

6

24,1

 

55,2

-4,1

52,6


5. Оценка адекватности и точности построенных моделей

Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда близко или равно нулю и если значения остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.

Анализ модели Брауна при = 0,7

Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек:



Где р – фактическое количество поворотных точек в случайном ряду;

1,96 – квантиль нормального распределения для 5%-ного уровня значимости.



Фактическое количество больше критического поэтому проверка случайности ряда остатков по критерию пиков дает положительный результат.


При проверке независимости (отсутствии автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей, например, с помощью d- критерия Дарбина-Уотсона по формуле:

Согласно условию критические уровни: d1=1.08 d2=1,36.

Сформулируем гипотезы Н0- в остатках нет автокорреляции, Н1 - в остатках есть положительная автокорреляция Н*1 - в остатках есть отрицательная автокорреляция. Получим следующие промежутки внутри интервала [0;4]




Есть положительная автокорреляция остатков

Зона неопределенности

Автокорреляция остатков отсутствует

Зона непределенности

Есть отрицательная автокорреляция остатков

0




1,08




1,36




2,64




2,92




4


d=2,8 попадает в зону неопределенности

Рассчитаем значение первого коэффициента автокорреляции:

.

Так как (0,4 > 0,36) значит, ряд остатков коррелирован.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS- критерия:

Вариационный размах R=e(max)-e(min)=2,8-(-4,2)=7,0

Среднеквадратическое отклонение

Расчетное значение R/Sy =7,0/2,2=3,2

Расчетное значение попадает в интервал 2,7 – 3,7, значит закон нормального распределения выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

Оценка точности линейной модели.

Средняя по модулю ошибка составляет: Так как 8,7 < 15, такую ошибку можно считать приемлемой.


Анализ модели Брауна при = 0,4

Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек:



Где р – фактическое количество поворотных точек в случайном ряду;

1,96 – квантиль нормального распределения для 5%-ного уровня значимости.



Фактическое количество больше критического поэтому проверка случайности ряда остатков по критерию пиков дает положительный результат.


При проверке независимости (отсутствии автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей, например, с помощью d- критерия Дарбина-Уотсона по формуле:

Согласно условию критические уровни: d1=1.08 d2=1,36.

Сформулируем гипотезы Н0- в остатках нет автокорреляции, Н1 - в остатках есть положительная автокорреляция Н*1 - в остатках есть отрицательная автокорреляция. Получим следующие промежутки внутри интервала [0;4]




Есть положительная автокорреляция остатков

Зона неопределенности

Автокорреляция остатков отсутствует

Зона непределенности

Есть отрицательная автокорреляция остатков

0




1,08




1,36




2,64




2,92




4


d=2,3 означает, что автокорреляция остатков отсутствует.

Рассчитаем значение первого коэффициента автокорреляции:

.

Так как (0,2< 0,36), значит, ряд остатков не коррелирован.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS- критерия:

Вариационный размах R=e(max)-e(min)=2,5-(-3,8)=6,3

Среднеквадратическое отклонение

Расчетное значение R/Sy =6,3/1,7=3,7

Расчетное значение попадает в интервал 2,7 – 3,7, значит закон нормального распределения выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

Оценка точности линейной модели.

Средняя по модулю ошибка составляет:

Так как 5,8 < 15, такую ошибку можно считать приемлемой.

7. Прогнозные данные для t = 10 (k = 1) и t = 11 (k = 2) приведены в таблицах 7 и 8 . Они рассчитаны по формулам:

- точечный прогноз

- интервал

- интервальный прогноз


Таблица 7

= 0,7

t

к

точечный прогноз

интервал

верхняя граница

нижняя граница

10

1

30,4

4,1

34,5

26,3

11

2

32,9

4,3

37,2

28,6



Таблица 8

= 0,4

t

к

точечный прогноз

интервал

верхняя граница

нижняя граница

11

1

30

3,2

33,2

26,8

12

2

32,1

3,3

35,4

28,8


8.

Таблица 9

Данные для построения графиков

t

y

Расчетное значение по линейной модели

Расчетное значение при

=0,7

Расчетное значение при

=0,4

1

12

12,0

12

12

2

15

13,9

14,9

14,6

3

16

15,8

16,1

16,3

4

19

17,7

18,9

18,7

5

17

19,6

17,4

18,4

6

20

21,5

19,8

20

7

24

23,4

23,7

23,1

8

25

25,3

25,1

25

9

28

27,2

27,9

27,9

10

 

 

30,4

30

11

 

 

32,9

32,1




Рис. 4. Динамика экономического показателя

1 Нахождение оптимального плана задачи может быть получено с помощью надстройки Excel Поиск решения или ‘вручную’ симплексным методом.

2 Пункт 4 выполняют только студенты специальности 06.04.00




Похожие:

Контрольная работа По дисциплине «Экономико-Математические методы и прикладные модели» Вариант №6 Исполнитель iconКонтрольная работа по дисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели» Вариант №9 Исполнитель
При производстве двух видов продукции используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий...
Контрольная работа По дисциплине «Экономико-Математические методы и прикладные модели» Вариант №6 Исполнитель iconКонтрольная работа По дисциплине : «Теория вероятности и математическая статистика» №-1 вариант-1 Исполнитель
Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6, второй – с вероятностью...
Контрольная работа По дисциплине «Экономико-Математические методы и прикладные модели» Вариант №6 Исполнитель iconКонтрольная работа по дисциплине: "Статистика" Вариант второй студент 4-го курса по специальности

Контрольная работа По дисциплине «Экономико-Математические методы и прикладные модели» Вариант №6 Исполнитель iconКонспект лекций по дискретной математике
Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: учеб пособие. 3-е изд., перераб и доп. / И. В. Орлова, В. А....
Контрольная работа По дисциплине «Экономико-Математические методы и прикладные модели» Вариант №6 Исполнитель iconКОнтрольная работа по дисциплине «Ценообразование» Вариант 3 2008 год Содержание
Классификация цен в зависимости от степени воздействия на них государства
Контрольная работа По дисциплине «Экономико-Математические методы и прикладные модели» Вариант №6 Исполнитель iconКонспект лекций по дисциплине методы оптимальных решений Направление подготовки: 080100 «Экономика»
Математические модели и методы – необходимый элемент экономической теории на микро- и макроуровне. Использование математики в экономике...
Контрольная работа По дисциплине «Экономико-Математические методы и прикладные модели» Вариант №6 Исполнитель iconКонтрольная работа по дисциплине «Теория бухгалтерского учета» Вариант III воронеж 2007 Задание 1
Автоматизированное рабочее место бухгалтера (персональная ЭВМ с печатающим устройством)
Контрольная работа По дисциплине «Экономико-Математические методы и прикладные модели» Вариант №6 Исполнитель iconКонтрольная работа по дисциплине «Экономика организаций» Вариант 13 Специальность: буаи а группа № зачётной книжки
Теоретический вопрос: Показатели использования основных фондов и направления улучшения их использования
Контрольная работа По дисциплине «Экономико-Математические методы и прикладные модели» Вариант №6 Исполнитель iconУрок №13 Тема: Математические модели. Контрольная работа №2. Цели урока
Основные понятия: Модель, информационная модель, знаковая информационная модель, математическая модель
Контрольная работа По дисциплине «Экономико-Математические методы и прикладные модели» Вариант №6 Исполнитель iconАвтономная некоммерческая организация владимирский институт бизнеса экономико-математические методы Типовой расчет №4

Разместите ссылку на наш сайт:
Уроки, сочинения


База данных защищена авторским правом ©izlov.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
связаться с нами