Неопределенный интеграл. Примеры решений icon

Неопределенный интеграл. Примеры решений



НазваниеНеопределенный интеграл. Примеры решений
Дата17.10.2016
Размер
ТипУроки, сочинения

На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом Неопределенный интеграл. Примеры решений, где я объяснил в доступной форме, что такое  интеграл и подробно разобрал базовые примеры для начинающих.

Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:

^ Подведение функции под знак дифференциала.
– Собственно замена переменной.

По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному.

Начнем с более простого случая.


^ Подведение функции под знак дифференциала

На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений мы научились раскрывать дифференциал, напоминаю пример, который я приводил:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image002.gif

То есть, раскрыть дифференциал – это почти то же самое, что найти производную.

Пример 1

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image004.gif

Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image006.gif. Но проблема заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать?

Подводим функцию http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image008.gif под знак дифференциала:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image010.gif

Раскрывая дифференциал, легко проверить, что:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image012.gif

Фактически http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image004_0000.gif и http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image015.gif – это запись одного и того же.

Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image017.gif?  Почему так, а не иначе?

Формула http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image006_0000.gif (и все другие табличные формулы) справедливы и применимы НЕ ТОЛЬКО для переменной http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image020.gif, но и для любого сложного выражения ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ (http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image022.gif – в нашем примере) ^ И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИ ОДИНАКОВЫМИ.

Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: «Мне надо решить интеграл http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image004_0001.gif. Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image006_0001.gif. Но у меня сложный аргумент http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image008_0000.gif и формулой я сразу воспользоваться не могу. Однако если мне удастся получить http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image008_0001.gif и под знаком дифференциала, то всё будет нормально. Если я запишу http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image026.gif, тогда http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image028.gif. Но в исходном интеграле http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image030.gif множителя-тройки нет, поэтому, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо ее домножить на http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image032.gif». В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись:

http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image010_0000.gif

Теперь можно пользоваться табличной формулой http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image006_0002.gif:

http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image035.gif
Готово

Единственное отличие, у нас не буква «икс», а сложное выражение http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image022_0000.gif.

Выполним проверку. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ: 
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image038.gif

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Обратите внимание, что в ходе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image040.gif^ По сути дела подведение функции под знак дифференциала и http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image040_0000.gif – это два взаимно обратных правила.

Пример 2

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image042.gif

Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image044.gif.

Подводим функцию http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image046.gif под знак дифференциала:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image048.gif

Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image050.gif. Ага, получается http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image052.gif, значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image054.gif
Далее используем табличную формулу http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image044_0000.gif:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image057.gif

Проверка: 
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image059.gif
Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image061.gif

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Пример 4

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image063.gif

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орехи:

http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image065.gif

http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image067.gif

http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image069.gif

http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image071.gif

http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image073.gif

И так далее.

В конце данного параграфа хотелось бы еще остановиться на «халявном» случае, когда в линейной функции переменная http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image020_0000.gif входит с единичным коэффициентом, например:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image076.gif

Строго говоря, решение должно выглядеть так:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image078.gif

Как видите, подведение функции http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image080.gif под знак дифференциала прошло «безболезненно»,  без всяких домножений. Поэтому на практике таким длинным решением часто пренебрегают и сразу записывают, что http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image082.gif. Но будьте готовы при необходимости объяснить преподавателю, как Вы решали! Поскольку интеграла http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image076_0000.gif в таблице вообще-то нет.


^ Метод замены переменной в неопределенном интеграле

Переходим к рассмотрению общего случая – метода замены переменных в неопределенном интеграле.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл. 
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image004_0002.gif

В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Как мы уже  говорили, для решения интеграла нам приглянулась табличная формула http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image006_0003.gif, и всё дело хотелось бы свести к ней.

Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение (или некоторую функцию) заменить одной буквой.
В данном случае напрашивается: http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image085.gif
Вторая по популярности буква для замены – это буква http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image087.gif.
В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций.

Итак: http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image089.jpg
Но при замене у нас остаётся http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image091.gif! Наверное, многие догадались, что если осуществляется переход к новой переменной http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image093.gif, то в новом интеграле всё должно быть выражено через букву http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image093_0000.gif, и дифференциалу http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image091_0000.gif там совсем не место.
Следует логичный вывод, что http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image091_0001.gif нужно превратить в некоторое выражение, которое зависит только от http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image093_0001.gif.

Действие следующее. После того, как мы подобрали замену, в данном примере,  http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image085_0000.gif, нам нужно найти дифференциал http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image097.gif. С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена.

Так как http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image085_0001.gif, то

http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image100.gif

После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко: http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image102.gif
Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image091_0002.gif:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image104.gif

В итоге: http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image106.jpg 
Таким образом: 
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image108.gif
А это уже самый что ни на есть табличный интеграл http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image006_0004.gif (таблица, интегралов, естественно, справедлива и для переменной http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image093_0002.gif).

http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image111.gif
В заключении осталось провести обратную замену. Вспоминаем, что http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image085_0002.gif.

http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image113.gif
Готово.

Чистовое оформление рассмотренного примера должно выглядеть примерно так:


http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image115.gif

Проведем замену: http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image085_0003.gif 
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image117.gif

http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image119.gif 


Значок http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image121.gif не несет никакого математического смысла, он обозначает, что мы прервали решение для промежуточных объяснений.

Также всем рекомендую использовать математический знак http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image123.gif вместо фразы «из этого следует это». И коротко, и удобно.

При оформлении примера в тетради надстрочную пометку  http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image125.gif обратной замены лучше выполнять простым карандашом.

Внимание! В следующих примерах нахождение дифференциала http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image097_0000.gif расписываться подробно не будет.

А теперь самое время вспомнить первый способ решения:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image035_0000.gif

В чем разница? Принципиальной разницы нет. Это фактически одно и то же. ^ Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала – гораздо короче.

Возникает вопрос. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Дело в том, что для ряда интегралов не так-то просто «подогнать» функцию под знак дифференциала.

Пример 6

Найти неопределенный интеграл.
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image129.gif

Проведем замену: http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image131.gif (другую замену здесь трудно придумать)
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image133.gif

http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image135.gif

Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился – свёлся к обычной степенной функции. ^ Это и есть цель замены – упростить интеграл.

Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image137.gif

Другое дело, что такое решение очевидно далеко не для всех студентов. Кроме того, уже в этом примере использование метода подведения функции под знак дифференциалазначительно повышает риск запутаться в решении.

Пример 7

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image139.gif
Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Пример 8

Найти неопределенный интеграл. 
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image141.gif

Замена: http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image143.gif
Осталось выяснить, во что превратится http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image145.gif
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image117_0000.gif
Хорошо, http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image091_0003.gif мы выразили, но что делать с оставшимся в числителе «иксом»?!
Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image020_0001.gif мы выразим из той же замены http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image143_0000.gif!
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image150.gif

http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image152.gif

Готово.

Пример 9

Найти неопределенный интеграл. 
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image154.gif
Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Пример 10

Найти неопределенный интеграл. 
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image156.gif

Наверняка некоторые обратили внимание, что в моей справочной таблице нет правила замены переменной. Сделано это сознательно. Правило внесло бы путаницу в объяснение и понимание, поскольку в вышерассмотренных примерах оно не фигурирует в явном виде.

Настало время рассказать об основной предпосылке использования метода замены переменной: в подынтегральном выражении должна находиться некоторая функция http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image158.gifи её производная http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image160.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image162.gif (функции http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image158_0000.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image160_0000.gif могут быть и не в произведении)

В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных.

В рассматриваемом примере замечаем, что степень числителя на единицу меньше степени знаменателя. В таблице производных находим формулу http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image164.gif, которая как раз понижает степень на единицу. А, значит, если обозначить за http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image093_0003.gif знаменатель, то велики шансы, что числитель http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image145_0000.gif превратится во что-нибудь хорошее.

http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image168.gif

Замена: http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image170.gif

http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image172.gif

Кстати, здесь не так сложно подвести функцию под знак дифференциала:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image174.gif

Следует отметить, что для дробей вродеhttp://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image176.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image178.gif такой фокус уже не пройдет (точнее говоря, применить нужно будет не только прием замены). Интегрировать некоторые дроби можно научиться на уроке Интегрирование некоторых дробей.

Вот еще пара типовых примеров для самостоятельного решения из той же оперы:

Пример 11

Найти неопределенный интеграл. 
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image180.gif

Пример 12

Найти неопределенный интеграл. 
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image182.gif

Решения в конце урока.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл. 
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image184.gif

Смотрим в таблицу производных и находим наш арккосинус: http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image186.gif. У нас в подынтегральном выражении находится арккосинус и нечто похожее на его производную.

Общее правило:
За http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image093_0004.gif обозначаем саму функцию (а не её производную).

В данном случае: http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image189.gif. Осталось выяснить, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image191.gif.

В этом примере нахождение http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image097_0001.gif я распишу подробно поскольку http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image194.gif – сложная функция.

http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image196.gif
Или короче: http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image198.gif
По правилу пропорции выражаем нужный нам остаток: http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image200.gif

Таким образом:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image202.gif

Вот здесь подвести функцию под знак дифференциала уже не так-то просто.

Пример 14

Найти неопределенный интеграл. 
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image204.gif

Пример для самостоятельного решения. Ответ совсем близко.

Внимательные читатели заметили, что я рассмотрел мало примеров с тригонометрическими функциями. И это не случайно, поскольку под интегралы от тригонометрических функцийотведён отдельный урок. Более того, на указанном уроке даны некоторые полезные ориентиры для замены переменной, что особенно актуально для чайников, которым не всегда и не сразу понятно, какую именно замену нужно проводить в том или ином интеграле. Также некоторые типы замен можно посмотреть в статье Определенный интеграл. Примеры решений.

Более опытные студенты могут ознакомиться с типовой заменой в интегралах с иррациональными функциями. Замена при интегрировании корней является специфической, и её техника выполнения отличается от той, которую мы рассмотрели на этом уроке.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 3: Решение:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image206.gif

Пример 4: Решение:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image208.gif

Пример 7: Решение:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image210.gif

Пример 9: Решение:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image212.gif
Замена: http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image214.gif
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image216.gif
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image218.gif

Пример 11: Решение:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image220.gif
Проведем замену:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image222.gif
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image224.gif

Пример 12: Решение:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image226.gif
Проведем замену:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image228.gif
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image230.gif

Пример 14: Решение:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image232.gif
Проведем замену:
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image234.gif
http://www.mathprofi.ru/f/metod_zameny_peremennoi_clip_image236.gif

Я выполнил проверку, а Вы? ;)

Автор: Емелин Александр



Похожие:

Неопределенный интеграл. Примеры решений iconНеопределенный интеграл. Подробные примеры решений
На данном уроке мы начнем изучение темы Неопределенный интеграл, а также подробно разберем примеры решений простейших (и не совсем)...
Неопределенный интеграл. Примеры решений iconОпределенный интеграл. Примеры решений
И снова здравствуйте. На данном уроке мы подробно разберем такую замечательную вещь, как определенный интеграл. На этот раз вступление...
Неопределенный интеграл. Примеры решений iconИнтегрирование некоторых дробей. Методы и приёмы решения
На данном уроке мы научимся находить интегралы от некоторых видов дробей. Для успешного усвоения материала Вам должны быть хорошо...
Неопределенный интеграл. Примеры решений iconЛекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно...
Неопределенный интеграл. Примеры решений iconТема 1 Неопределенный интеграл
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала функции. В интегральном исчислении...
Неопределенный интеграл. Примеры решений iconИнтегральное исчисление первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла
В интегральном исчислении решается обратная задача: для заданной функции f (X) требуется найти такую функцию f (X), для которой f...
Неопределенный интеграл. Примеры решений iconТема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования
Для всякой математической операции прямого действия всегда существует операция обратного действия. Сложение и вычитание, умножение...
Неопределенный интеграл. Примеры решений iconI. Неопределенный интеграл
На основании формулы при этом решается задача нахождения дифференциала функции. Рассмотрим теперь обратные операции, осуществляющие...
Неопределенный интеграл. Примеры решений icon§ поверхностный интеграл I рода (по площади поверхности)
Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла, каким криволинейный интеграл I рода является...
Неопределенный интеграл. Примеры решений iconКонспект по датам. Лекция 1: 10 февраля Глава Неопределённый интеграл опр и свойства
Определение первообразной, Свойства: что F+C тоже перв. (Док-ть), что разность двух первообр = C. Определение неопр интеграла. Свойства...
Разместите ссылку на наш сайт:
Уроки, сочинения


База данных защищена авторским правом ©izlov.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
связаться с нами