Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений icon

Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений



НазваниеНеопределенный интеграл. Подробные примеры решений
Дата17.10.2016
Размер
ТипУроки, сочинения

Неопределенный интеграл. 
Подробные примеры решений



На данном уроке мы начнем изучение темы Неопределенный интеграл, а также подробно разберем примеры решений простейших (и не совсем) интегралов. Как обычно, я ограничусь минимумом теории, наша задача – научиться решать интегралы.

Что нужно знать для успешного освоения материала? Для того чтобы справиться с интегральным исчислением  Вам необходимо уметь находить производные, минимум, на среднем уровне. Поэтому, если материал запущен, то рекомендую сначала внимательно ознакомиться с уроками Как найти производную? и Производная сложной функции. Не лишним опытом будет, если у Вас за плечами несколько десятков (лучше – сотня) самостоятельно найденных производных. По-крайне мере, Вас не должны ставить в тупик задания на дифференцирование простейших и наиболее распространенных функций. Казалось бы, при чем здесь вообще производные, если речь в статье пойдет об интегралах?! А дело вот в чем. Дело в том, что нахождение производных и нахождение неопределенных интегралов (дифференцирование и интегрирование) – это два взаимно обратных действия, как, например, сложение/вычитание или умножение/деление. Таким образом, без навыка (+ какого-никакого опыта) нахождения производных, к сожалению, дальше не продвинуться.

В этой связи нам потребуются следующие методические материалы: Таблица производных иТаблица интегралов. Справочные пособия можно открыть, закачать или распечатать на странице Математические формулы и таблицы.

В чем сложность изучения неопределенных интегралов? Если в производных имеют место строго 5 правил дифференцирования, таблица производных и довольно четкий алгоритм действий, то в интегралах всё иначе. Существуют десятки способов и приемов интегрирования. И, если способ интегрирования изначально подобран неверно (т.е. Вы не знаете, как решать), то интеграл можно «колоть» буквально сутками, как самый настоящий ребус, пытаясь приметить различные приемы и ухищрения. Некоторым даже нравится. Между прочим, это не шутка, мне довольно часто приходилось слышать от студентов мнение вроде «У меня никогда не было интереса решить предел или производную, но вот интегралы – совсем другое дело, это увлекательно, всегда есть желание «взломать» сложный интеграл». Стоп. Хватит чёрного юмора, переходим к этим самым неопределенным интегралам.

Коль скоро способов решения существует очень много, то с чего же начать изучение неопределенных интегралов чайнику? В интегральном исчислении существуют, на мой взгляд, три столпа или своеобразная «ось», вокруг которой вращается всё остальное. В первую очередь следует хорошо разобраться в простейших интегралах (эта статья). Потом нужно детально проработать урок Метод замены в неопределенном интеграле. ЭТО ВАЖНЕЙШИЙ ПРИЁМ! Может быть, даже самая важная статья из всех моих статей, посвященных интегралам. И, в-третьих, обязательно следует  ознакомиться с методом интегрирования по частям, поскольку с помощью него интегрируется обширный класс функций. Если Вы освоите хотя бы эти три урока, то уже «не два». Вам могут «простить» незнание интегралов от тригонометрических функцийинтегралов от дробей,интегралов от дробно-рациональных функцийинтегралов от иррациональных функций (корней), но вот если «сесть в лужу» на методе замены или методе интегрирования по частям – то это будет очень и очень скверно.

В Рунете сейчас весьма распространены демотиваторы. В контексте изучения интегралов, наоборот, просто необходим  МОТИВАТОР. Как в том анекдоте про Василия Ивановича, который и Петьку мотивировал, и Аньку мотивировал. Уважаемые лентяи, халявщики и другие нормальные студенты, обязательно прочитайте нижеследующее. Знания и навыки по неопределенному интегралу потребуются в дальнейшей учебе, в частности, при изученииопределенного интеграланесобственных интеграловдифференциальных уравнений на 2 курсе. Необходимость взять интеграл возникает даже в теории вероятностей! Таким образом, без интегралов путь на летнюю сессию и 2 курс БУДЕТ РЕАЛЬНО ЗАКРЫТ. Я серьезно. Вывод таков. Чем больше интегралов различных типов вы прорешаете, тем легче будет дальнейшая жизнь. Да, это займет довольно много времени, да, порой, не хочется, да, иногда «да фиг с ним, с этим интегралом, авось не попадется». Но, воодушевлять и греть душу должна следующая мысль, ваши усилия окупятся сполна! Вы будете, как орехи щелкать дифференциальные уравнения и легко расправляться с интегралами, которые встретятся в других разделах высшей математики.Качественно разобравшись с неопределенным интегралом, ВЫ ФАКТИЧЕСКИ ОСВАИВАЕТЕ ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО РАЗДЕЛОВ ВЫШКИ. Игра стоит свеч. А за лентяев не обижайтесь, я и сам был лентяем 7 баллов по 10-балльной шкале, короче говоря, обычным студентом =)

Итак, начинаем с простого. Посмотрим на таблицу интегралов. Как и в производных, мы замечаем несколько правил интегрирования и таблицу интегралов от некоторых элементарных функций. Нетрудно заметить, что любой табличный интеграл (да и вообще любой неопределенный интеграл) имеет вид:

http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image002.gif

Сразу разбираемся в обозначениях и терминах:

http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image004.gif– значок интеграла.

http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image006.gif – подынтегральная функция (пишется с буквой «ы»).

http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image008.gif – значок дифференциала. Что это такое мы рассмотрим совсем скоро. При записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный значок. Заметный недочет будет.

http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image010.gif – подынтегральное выражение или «начинка» интеграла.

http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image012.gif – первообразная функция.

http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image014.gif – множество первообразных функций. Не нужно сильно загружаться терминами, самое важное, что в любом неопределенном интеграле к ответу приплюсовывается константаhttp://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image016.gif.

Решить интеграл – это значит найти определенную функцию http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image018.gif, пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.

Еще раз посмотрим на запись:

http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image020.gif

Посмотрим в таблицу интегралов.

Что происходит? Левые части http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image022.gif у нас превращаются в другие функции: http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image018_0000.gif.

Упростим наше определение.

Решить неопределенный интеграл http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image022_0000.gif – это значит ПРЕВРАТИТЬ его в определенную функцию http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image014_0000.gif, пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.

Возьмем, например, табличный интеграл http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image026.gif. Что произошло? http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image028.gif превратился в функцию http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image030.gif.

Как и в случае с производными, для того, чтобы научиться находить интегралы, не обязательно быть в курсе, что такое интеграл, первообразная функция с теоретической точки зрения. Достаточно просто осуществлять превращения по некоторым формальным правилам. Так, в случае http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image026_0000.gif совсем не обязательно понимать, почему интегралhttp://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image028_0000.gif превращается именно в http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image030_0000.gif. Можно принять эту и другие формулы как данность. Все пользуются электричеством, но мало кто задумывается, как там по проводам бегают электроны.

^ Так как дифференцирование и интегрирование – противоположные операции, то для любой первообразной, которая найдена правильно, справедливо следующее:

http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image032.gif

Иными словами, если продифференцировать правильный ответ, то обязательно должна получиться исходная подынтегральная функция.

Вернемся к тому же табличному интегралу http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image026_0001.gif.

Убедимся в справедливости данной формулы. Берем производную от правой части:

http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image035.gif – исходная подынтегральная функция.

Вот, кстати, стало понятнее, почему к функции http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image012_0000.gif всегда приписывается константа http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image016_0000.gif. При дифференцировании константа всегда превращается в ноль.

^ Решить неопределенный интеграл – это значит найти множество всех первообразных, а не какую-то одну функцию. В рассматриваемом табличном примере http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image039.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image041.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image043.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image045.gif и т. д. – все эти функции являются решением интеграла http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image028_0001.gif. Решений бесконечно много, поэтому записывают коротко: http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image047.gif

Таким образом, любой неопределенный интеграл достаточно легко проверить (в отличие от производных, где хорошую стопудовую проверку можно осуществить разве что с помощью математических программ). Это некоторая компенсация за большое количество интегралов разных видов.

Переходим к рассмотрению конкретных примеров. Начнем, как и при изучении производной, с двух правил интегрирования:

http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image049.gif – константу http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image016_0001.gif можно (и нужно) вынести за знак интеграла.

http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image052.gif – интеграл суммы двух функций равен сумме двух интегралов. Данное правило справедливо для любого количества слагаемых.

Как видите, правила, в принципе, такие же, как и для производных. Иногда их называютсвойствами линейности интеграла.

Пример 1

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image054.gif

Решение: Удобнее переписать его на бумагу.
http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image056.gif

(1) Применяем правило http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image052_0000.gif. На забываем записать значок дифференциала http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image008_0000.gif под каждым интегралом. Почему под каждым? http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image008_0001.gif – это полноценный множитель, если расписывать решение совсем детально, то первый шаг следует записать так:
http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image059.gif

(2) Согласно правилу http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image049_0000.gif выносим все константы за знаки интегралов. Обратите внимание, что в последнем слагаемом http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image061.gif – это константа, её также выносим.
Кроме того, на данном шаге готовим корни и степени для интегрирования. Точно так же, как и при дифференцировании, корни надо представить в виде http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image063.gif. Корни и степени, которые располагаются в знаменателе – перенести вверх.

! Примечание: в отличие от производных, корни в интегралах далеко не всегда следует приводить к виду http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image063_0000.gif, а степени переносить вверх. Например, http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image065.gif – это готовый табличный интеграл, и всякие китайские хитрости вроде http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image067.gif совершенно не нужны. Аналогично:http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image069.gif – тоже табличный интеграл, нет никакого смысла представлять дробь  в виде http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image071.gif.  Внимательно изучите таблицу!

(3) Все интегралы у нас табличные. Осуществляем превращение с помощью таблицы, используя формулы: http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image073.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image075.gif и http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image077.gif.
Особое внимание обращаю на формулу интегрирования степенной функции http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image079.gif, она встречается очень часто, ее лучше запомнить. Следует отметить, что табличный интеграл http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image077_0000.gif – частный случай этой же формулы: http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image082.gif.
Константу http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image016_0002.gif достаточно приплюсовать один раз в конце выражения (а не ставить их после каждого интеграла).
(4) Записываем полученный результат в более компактном виде, все степени вида http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image063_0001.gif снова представляем в виде корней, степени с отрицательным показателем – сбрасываем обратно в знаменатель.

Проверка. Для того чтобы выполнить проверку нужно продифференцировать полученный ответ:
http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image085.gif

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно. От чего плясали, к тому и вернулись. Знаете, очень хорошо, когда история с интегралом заканчивается именно так.

Время от времени встречается немного другой подход к проверке неопределенного интеграла, от ответа берется не производная, а дифференциал:
http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image087.gif
Не стоит пугаться понятия дифференциал. ^ Дифференциал – это почти то же самое, что и производная. Однако нам важны не теоретические тонкости, а то, что с этим дифференциалом дальше делать. Дифференциал раскрывается следующим образом: значок http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image089.gif убираем, справа над скобкой ставим штрих, в конце выражения приписываем множитель http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image008_0002.gif:

http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image092.gif

Получено исходное подынтегральное выражение, значит, интеграл найден правильно.

Как видите, дифференциал банально сводится к нахождению той же производной. Второй способ проверки мне нравится меньше, так как приходиться дополнительно рисовать большие скобки и тащить значок дифференциала http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image008_0003.gif до конца проверки. Хотя он корректнее или «солиднее» что ли.

На самом деле я вообще мог умолчать о втором способе проверки. Дело не в способе, а в том, что мы научились раскрывать дифференциал. Еще раз.

^ Дифференциал раскрывается следующим образом:

1) значок http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image089_0000.gif убираем;
2) справа над скобкой ставим штрих (обозначение производной);
3) в конце выражения приписываем множитель http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image008_0004.gif.

Например: http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image095.gif

Запомните это. Рассмотренный приём потребуется нам очень скоро.

Пример 2

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image097.gif

Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока.

^ Когда мы находим неопределенный интеграл, то ВСЕГДА стараемся сделать проверку, тем более, для этого есть прекрасная возможность. Далеко не все типы задач в высшей математике является подарком с этой точки зрения. Неважно, что часто в контрольных заданиях проверки не требуется, её никто, и ничто не мешает провести на черновике. Исключение можно сделать лишь тогда, когда не хватает времени (например, на зачете, экзамене). Лично я всегда проверяю интегралы, а отсутствие проверки считаю халтурой и некачественно выполненным заданием.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image099.gif

Решение: Анализируя интеграл, мы видим, что у нас произведение двух функций, да еще и возведение в степень целого выражения. К сожалению, на поприще интегральной битвы нет хороших и удобных формул для интегрирования произведения и частного http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image101.jpghttp://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image103.jpg.

А поэтому, когда дано произведение или частное, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли преобразовать подынтегральную функцию в сумму?

Рассматриваемый пример – тот случай, когда можно. Сначала я приведу полное решение, комментарии будут ниже.

http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image105.gif

(1) Используем старую - добрую формулу квадрата суммы http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image107.gif, избавляясь от степени.

(2) Вносим http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image109.gif в скобку, избавляясь от произведения.

(3) Используем свойства линейности интеграла (оба правила сразу).

(4) Превращаем интегралы по табличной формуле http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image073_0000.gif.

(5) Упрощаем ответ. Здесь следует обратить внимание на обыкновенную неправильную дробьhttp://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image111.gif – она несократима и в ответ входит именно в таком виде. Не нужно делить на калькулятореhttp://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image113.gif! Не нужно представлять ее в виде http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image115.gif!

Проверка: 
http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image117.gif

Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно.

В ходе проверки функцию всегда желательно «упаковать» до первоначального вида, вынося в данном случае http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image109_0000.gif за скобки и применяя формулу сокращенного умножения в обратном направлении: http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image119.gif

Пример 4

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image121.gif

Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока.

Пример 5

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image123.gif

В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда мы видим в подынтегральном выражении дробь, то первой мыслью должен быть вопрос: А нельзя ли как-нибудь от этой дроби избавиться, или хотя бы её упростить?

Замечаем, что в знаменателе находится одинокий корень из «икс». Один в поле – не воин, а значит, можно почленно разделить числитель на знаменатель:
http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image125.gif

Действия с дробными степенями я не комментирую, так как о них неоднократно шла речь в статьях о производной функции. Если Вас все-таки ставит в тупик такой пример, как http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image127.gif, и ни в какую не получается правильный ответ http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image129.gif, то рекомендую обратиться к школьным учебникам. В высшей математике дроби и действия с ними встречаются на каждом шагу.

Также обратите внимание, что в решении пропущен один шаг, а именно, применение правил http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image049_0001.gifhttp://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image052_0001.gif. Обычно при определенном опыте решения интегралов данные правила считают очевидным фактом и не расписывают подробно.

Пример 6

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.
http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image131.gif

Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока.

В общем случае с дробями в интегралах не всё так просто, дополнительный материал по интегрированию дробей некоторых видов можно найти в статье Интегрирование некоторых дробей.

! Но, прежде чем перейти к вышеуказанной статье, необходимо ознакомиться с уроком Метод замены в неопределенном интеграле. Дело в том, что подведение функции под дифференциал или метод замены переменной является ключевым моментом в изучении темы, поскольку встречается не только «в чистых заданиях на метод замены», но и во многих других разновидностях интегралов.

Очень хотелось включить еще несколько примеров в данный урок, но вот сижу сейчас, печатаю этот текст в Вёрде и замечаю, что статья уже выросла до приличных размеров.
А поэтому вводный курс интегралов для чайников подошел к концу.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image133.gif

Пример 4: Решение:

http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image135.gif

В данном примере мы использовали формулу сокращенного умножения http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image137.gif

Пример 6: Решение:

http://www.mathprofi.ru/f/integraly_primery_reshenij_clip_image139.gif

Я выполнил проверку, а Вы? ;)

Автор: Емелин Александр



Похожие:

Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений iconНеопределенный интеграл. Примеры решений
Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом Неопределенный...
Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений iconОпределенный интеграл. Примеры решений
И снова здравствуйте. На данном уроке мы подробно разберем такую замечательную вещь, как определенный интеграл. На этот раз вступление...
Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений iconИнтегрирование некоторых дробей. Методы и приёмы решения
На данном уроке мы научимся находить интегралы от некоторых видов дробей. Для успешного усвоения материала Вам должны быть хорошо...
Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений iconЛекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно...
Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений iconТема 1 Неопределенный интеграл
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала функции. В интегральном исчислении...
Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений iconИнтегральное исчисление первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла
В интегральном исчислении решается обратная задача: для заданной функции f (X) требуется найти такую функцию f (X), для которой f...
Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений iconТема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования
Для всякой математической операции прямого действия всегда существует операция обратного действия. Сложение и вычитание, умножение...
Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений iconI. Неопределенный интеграл
На основании формулы при этом решается задача нахождения дифференциала функции. Рассмотрим теперь обратные операции, осуществляющие...
Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений icon§ поверхностный интеграл I рода (по площади поверхности)
Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла, каким криволинейный интеграл I рода является...
Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений iconКонспект по датам. Лекция 1: 10 февраля Глава Неопределённый интеграл опр и свойства
Определение первообразной, Свойства: что F+C тоже перв. (Док-ть), что разность двух первообр = C. Определение неопр интеграла. Свойства...
Разместите ссылку на наш сайт:
Уроки, сочинения


База данных защищена авторским правом ©izlov.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
связаться с нами