Конспект лекций Натуральные числа icon

Конспект лекций Натуральные числа



НазваниеКонспект лекций Натуральные числа
Дата17.10.2016
Размер
ТипКонспект


В.П. Чуваков


Делимость

натуральных чисел


Конспект лекций






Натуральные числа


- множество натуральных чисел, используемых для счета или перечисления.

Формально множество натуральных чисел можно задать с помощью системы аксиом Пеано.

Система аксиом Пеано

1. Единица - натуральное число, которое не следует ни за каким числом.

2. Для любого натурального числа существует единственное число которое непосредственно следует за .

3. Каждое натуральное число следует непосредственно лишь за одним числом.

4. Если некоторое множество содержит и вместе с каждым натуральным числом содержит непосредственно следующее за ним число то (аксиома индукции).


^ Операции на множестве


Сложение








Умножение






Вычитание:

Свойства вычитания: Если то

Если то


Делимость натуральных чисел


Деление: делится на такое, что


Свойства операций:

1. Если делятся на то делится на

2. Если и делятся на то делится на

3. Если и делятся на то делится на

4. Если делится на то делится на

5. Если делятся на а не делятся на то то не делится на

6. Если или делятся на то делится на

7. Если делится на то делится на и делится на


Теорема о делении с остатком Для любых натуральных чисел существуют и единственные положительные числа такие, что причем

Доказательство. Пусть Рассмотрим следующий алгоритм:



.

.

и т.д.



Если то сделаем еще одно вычитание

Если то сделаем еще одно вычитание


Продолжаем процесс вычитания до тех пор, пока остаток не будет меньше числа

Существует число такое, что





Сложим все строки данного алгоритма и получим требуемое выражение, где




Единственность представления будем доказывать методом "от противного".

Предположим, что существует два представления

и Вычтем одно выражение из другого причем Последнее равенство в целых числах возможно только в случае так как при □


Следствие 1. Всякое натуральное число можно представить в виде: или или

Следствие 2. Если подряд стоящих натуральных чисел, то одно из них делится на

Следствие 3. Если два последовательных четных числа, то одно из них делится на


Определение. Натуральное число называется простым, если оно не имеет делителей, кроме единицы и самого себя.


Следствие 4. Всякое простое число имеет вид или

Действительно, всякое число можно представить в виде однако все числа этого ряда, кроме точно являются составными. □


Следствие 5. Если простое число, то делится на

Действительно, три подрядстоящих натуральных числа, причем, четные, а нечетное простое. Следовательно, одно из четных чисел и делится на 4, а одно – еще и на □


Пример 2. Справедливы следующие утверждения:

1.Квадрат нечетного числа при делении на 8 дает остаток

2. Ни при каком натуральном n число n2 +1 не делится на 3.

3. Используя только цифры 2, 3, 7, 8 (возможно, по несколько раз), нельзя составить квадрат натурального числа.

Доказательство1. Всякое нечетное число можно представить в виде или Возведем каждое из этих чисел в квадрат и получим требуемое утверждение.

Доказательство 2. Всякое натуральное число можно представить в виде Тогда выражение будет равно одному из выражений которые не делятся на

Доказательство3. Действительно, последняя цифра квадрата натурального числа не может заканчиваться ни на одну из этих цифр.


^ Признаки делимости


Определение. Десятичным представлением натурального числа называется представление числа в виде

где

Сокращенная запись


Признаки делимости на

Утв.6 Пусть десятичное представление числа числа Тогда:

1. Число делится на когда цифра - четная;

2. Число делится на когда двузначное число делится на

3. Число делится на когда либо

4. Число делится на когда

5. Число делится на когда двузначное число - делится на

6. Число делится на когда сумма цифр числа делится на

7. Число делится на когда сумма цифр числа делится на

8. Число делится на когда сумма цифр числа с чередующимися знаками делится на

Доказательство. Доказательство признаков 1)-5) легко получается из десятичной записи числа Докажем 6) и 7). Действительно,

Отсюда следует, что если делится (или то сумма цифр числа тоже делится на

Докажем 11). Пусть делится на Представим число в виде

Так как все слагаемые суммы делятся на то сумма тоже делится на □


Пример 3. Найдите все пятизначные числа вида , которые делятся на 45.

Доказательство. Поэтому число делится на 5, и последняя цифра у него равна 0 или 5, т.е. или Исходное число делится и на 9, поэтому делится на 9, т.е. или делится на 9, т.е.

Ответ:


^ Признак делимости на и


Утв.7 Пусть десятичное представление числа числа Число делится на когда разность между числом без трех последних знаков и числом, составленным из трех последних знаков, делится на

Доказательство. Представим в виде Так как число делится на и то делится на и □

Пример 4. Пусть Тогда делится на и, следовательно, число делится на

Пусть Тогда делится на Тогда число делится на


^ Простые числа


Решето Эратосфена

(Простой алгоритм получения всех простые чисел)

Алгоритм. Выписываем все числа от 1 до 100 и вычеркиваем сначала все четные. Затем, из оставшихся вычеркиваем делящиеся на 3, 5, 7 и т.д. В результате останутся только простые числа.


^ Теорема Евклид. Число простых чисел бесконечно.

Доказательство "от противного". Пусть число простых чисел конечно - Рассмотрим число Вопрос: число - простое или составное?

Если - составное число, то оно делится на некоторое простое число и, следовательно, единица делится на это простое число. Противоречие.

Если - простое число, то оно больше любого простого числа а все простые числа мы выписали и пронумеровали. Опять противоречие. □

Утв.8 Если число является составным, то оно имеет простой делитель такой, что

Доказательство. Если - наименьший простой делитель составного числа то


Следствие. Чтобы определить является ли число простым, надо определить имеет ли оно простые делители


Пример 5. Пусть Чтобы проверить, является ли число простым, надо проверить, делится ли на простые числа Ответ: число простое.


^ Генераторы простых чисел

Гипотеза: Все числа вида простые.

При - это простые числа для вручную и с помощью компьютера доказано, что все числа составные.

Например, (Эйлер)

Гипотеза: Все числа вида простые.

При это так, а делится на 17.

Гипотеза: Все числа вида простые.

При это так, а


Гипотеза: Все числа вида простые. При это так, а


Теорема. (Метод Ферма выделения множителей) Целое нечетное число не является простым существуют натуральные числа и такие, что Доказательство.




Пример 6. Разложить на простые сомножители числа

Или


Пример 7. Разложить на множители число Это число делится на 3 Далее, по методу выделения множителей,


Пример 8. При каких целых число простое ?

Заметим, что Так как простое, то либо либо Ответ:


Утв. 10 Натуральное число имеет нечетное число делителей когда оно является полным квадратом?

Доказательство. Если делитель числа то имеет две различные пары делителей и а при обе пары будут равны.


Пример 9. Числа имеют ровно по 99 делителей. Может ли число иметь ровно 100 делителей?

Ответ: нет. Действительно по предыдущему свойству и - полные квадраты, а их произведение – нет.


Пример 10. Числа простые. Найти

Решение. Всякое число можно представить в виде Если то получаются три простых числа удовлетворяющих условию задачи. Если то составное. Если то число делится на а если то число делится на Таким образом, во всех рассмотренных вариантах три простых числа не получается. Ответ:


^ НОД

Определение. Число называется наибольшим общим делителем чисел и если оно делит и и является наибольшим из таких чисел.

Обозначение:

Определение. Числа и называются взаимно простыми, если


Пример 12. Решить в натуральных числах уравнение

Решение. Пусть Следовательно, уравнение имеет вид Ответ: Решений нет.


^ Основная теорема арифметики


Теорема. Любое натуральное число больше либо является простым числом, либо может быть записано в виде произведения простых чисел, причем это произведение единственно с точностью до порядка сомножителей.


Следствие 1. Пусть Тогда равен произведению всех общих простых сомножителей с наименьшими степенями.

Следствие 2. Пусть Тогда равно произведению всех различных простых сомножителей с наибольшими степенями.

Следствие 3.


Пример 13. Пусть

Тогда


Утв.12 Если произведение двух взаимно простых сомножителей является квадратом, то каждый сомножитель является квадратом.

Доказательство. Пусть Так как и взаимно простые, то в их разложении участвуют различные простые сомножители. Тогда в произведении которое является квадратом, все простые сомножители различные и имеют четные показатели. □


Пример 14.(Окружная олимпиада 2006) Найти все натуральные числа удовлетворяющие условию

Решение 1. Если то число имеет столько нулей, сколько их у числа а число имеет по крайней мере на один нуль больше Следовательно,

Выпишем все возможные значения факториалов:

Решение 2. Докажем, что

Действительно, если значное число, то Ответ:

Замечание. Для любого числа число делится на например делится на а число делится на


Пример 15. Найти все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно а наибольший общий делитель равен

Решение. Пусть исходные числа. Так как простое число, а то по следствиям 1-2 основной теоремы арифметики число входит в разложение обоих чисел, а для чисел и возможны варианты:

Ответ:


Пример 16. Докажите, что ни одно число с суммой цифр 15 не является квадратом целого числа.

Решение. Пусть исходное число. Так как сумма цифр числа делится на то и само число делится на 3. Тогда делится на а делится на Однако сумма цифр числа равна и не делится на Противоречие.


Упражнения для самостоятельного решения


1. Какие остатки могут получиться при делении квадрата натурального числа на

2. Докажите, что число не может быть квадратом натурального числа, если делится на


3. Найдутся ли целые числа удовлетворяющие условию

4. Докажите, что среди натуральных чисел есть подряд 100 составных (1000 составных).

5. Найдите все числа p такие, что p и 5p + 1 – простые числа.


6. Найдите пятизначные числа вида которые делятся на 72.

7. Если - простое число и делится на , то делится на .

8. Докажите, что число делится на 9.

9. Докажите, что ab+ba делится на 11, а abc – cba делится на 99.

10. Найдите последнюю цифру числа 72011 + 92011.

11. Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить ноль.


12.К некоторому двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получилось число в 23 раза больше первоначального. Найдите это число.


^ Вопросы по теории или упражнениям можно задать Валерию Петровичу Чувакову

chv@uriit.ru


Дополнительная литература


1. Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. –М.: Просвещение, 2008.

2. Севрюков П.Ф. Подготовка к решению олимпиадных задач по матемаике. –М.: Илекса, 2009.

3. Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. Как решают нестандартные задачи. –М. МЦНМО, 2009.

4. Агаханов Н.А., Подлипский О.К. Математические олимпиады Московской области. –М.: Физматкнига, 2006

5. Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных заадач, –М.:МЦНМО, 2004


Интернет-магазин Московского центра непрерывного математического образования (МЦНМО): http://biblio.mccme.ru


На сайте МЦНМО можно найти большое количество электронных версий учебно-методических пособий и книг по математике, физике и информатике разных авторов.




Похожие:

Конспект лекций Натуральные числа iconКонспект лекций Натуральные числа
Формально множество натуральных чисел можно задать с помощью системы аксиом Пеано
Конспект лекций Натуральные числа iconУрок математики Тема : «Деление десятичных дробей на натуральное число» 5-й класс Учитель моу «Средняя общеобразовательная школа №6» Ромахина Ольга Анатольевна г. Киров 2006г
Изучить новое действие с десятичными дробями; усвоить правило деления десятичных дробей на натуральные числа; научиться выполнять...
Конспект лекций Натуральные числа iconКонспект урока по теме «Натуральные числа»
Цели: закрепить умение решать уравнения и задачи с натуральными числами; развивать смекалку и логическое мышление; воспитывать дружеские...
Конспект лекций Натуральные числа iconУрок по математике в 5 классе по теме
Цель урока: повторить и закрепить знания, полученные при изучении темы Натуральные числа”
Конспект лекций Натуральные числа iconЛекция 1 Глава 1 Введение в анализ
...
Конспект лекций Натуральные числа iconКонспект лекций Херсон 2002 Конспект лекций разработал зав каф доц к. т н. Герасимович Л. М. Конспект лекций рекомендован для студентов по специальности 050206 "Менеджмент внешнеэкономической деятельности предприятий"
Охватывает рынки всех стран. Внутренний – национальный валютный рынок в пределах государства
Конспект лекций Натуральные числа iconКонспект лекций
Конспект лекций предназначен для бакалавров факультета фф по направлению 5 522 200 "Телекоммуникации"
Конспект лекций Натуральные числа iconОткрытый урок математики в стихах Обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Натуральные числа и действия с ними»
Розробка уроку з математики для 5 класу у віршованій формі, мета якого активізації пізнавальної діяльності учнів; формування творчих...
Конспект лекций Натуральные числа iconУрок математики по теме «Умножение десятичных дробей на натуральные числа»
Цель урока: 1 обеспечить в ходе урока совершенствование навыков умножения десятичных дробей на натуральное число; 2 развивать умение...
Конспект лекций Натуральные числа iconКонспект лекций
Маслов Г. П. Электроснабжение железных дорог: Конспект лекций. Часть 2/ Г. П. Маслов, Г. С. Магай, О. А. Сидоров; Омский гос ун-т...
Разместите ссылку на наш сайт:
Уроки, сочинения


База данных защищена авторским правом ©izlov.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
связаться с нами