Конспект по датам. Лекция 1: 10 февраля Глава Неопределённый интеграл опр и свойства
|
| Лекции на ФВС, 520-1, 520-2, 530. Краткий электронный конспект по датам. Лекция 1: 10 февраля Глава 1. Неопределённый интеграл. §1. опр и свойства. Определение первообразной, Свойства: 1. что F+C тоже перв. (ДОК-ТЬ), 2. что разность двух первообр = C. Определение неопр. интеграла. Свойства линейности. §2. Осн. методы интегрирования. 2.1. подведение под знак дифференциала прим: , . 2.2. интегрирование по частям: ДОК-ТЬ формулу , примеры: , , . 2.3. преобразования подинтегрального выражения, прим: ,, . 2.4. замена переменных, прим: , . Лекция 2: 14 февраля Циклические интегралы. прим. . Вывод формулы для интегралов . Прим . §3. инт-е рац. дробей. Про выделение целой части, сведение к правильной. Простейшие и их вычисл: Общая ситуация 1) если все корни знам-ля разные, пример . 2) если есть кратные корни, прим . ^ 3) есть компл корни, прим . §4. Интегрирование иррациональностей. , замена , тогда , . Если корни разного порядка. , где . , все корни преобразуются в целые степени от , например: . Пример ==. , замена , доказать как и выражается через целые степени от . §5. Интегрирование тригонометрических функций. Частные случаи подстановок: при условиях : , , ,. : , , ,. Пример: . Смысл всех этих подстановок: в результате их действия получается корень в чётной степени, так как тригонометрическая функция преобразуется к виду корня нечётной степени, и это делится или домножается ещё на корень из dx, в итоге в любом случае будет чётная степень корня. . .: , , , , . Пример: ===. Универсальная тригонометрическая подстановка , , ,, . Пример: . ^ Интегрирование (с помощью тригонометрических функций) выражений, содержащих ,, . . (или ). При этом , . Пример = . * Пример. . . (или ). При этом , . (или ). При этом , . Доказать, что корень преобразуется в тригонометрическое выражение. ^ 1. , 2. , 3., 4., 5. если то , 6. если то , 7. , 8. если то , 9. сущ. такое , что 10. если f непрерывна то сущ. точка , что . §2. Методы вычислений. Теорема 1. является первообразной для . Теорема 2 о том, чтонепрерывна. Лекция 5: 24 февраля. Теорема 3. Ньютона-Лейбница. . Пример . Вид формулы интегрирования по частям для опред. интеграла. Особенности замены переменной в определённом интеграле (пересчёт пределов интегрирования, не возвращаться к старой переменной). Пример. . Приложения к геометрии: Вычисление площадей. Пример с применением обратной функции для . Вычисление объёмов тел вращения. , доказательство этим методом формулы объёма шара (пример). Длина дуги кривой. Вывод формулы в декартовых координатах для явно заданной: . Пример - длина четверти окружности. Для параметрически заданной в плоскости и пространстве. . В полярной системе координат: . ^ §3. Несобственные интегралы. Вводные примеры: , . Определения несобственных интегралов 1-го (неограниченная D(f)) и 2-го рода (неограниченная E(f)). Сходимость, расходимость. Доказать, что несобственный интеграл 1-го рода сходится при , а несобственный интеграл 2-го рода сходится при . Примеры: , . Свойства 1. сх-сть экв. сх-сти . 2. сх-сть и следует . Обратное неверно: сх-ся, хотя для каждого в разности расходится. Теорема 1. сходится первообразная имеет конечный предел . (ДОК) Теорема 2. сходится .(ДОК) Теорема 3. Признак сравнения в конечной форме. Пример. Теорема 4. Признак сравнения в предельной форме. Пример. Определение абсолютной сходимости. Док-ть что из абсолютной сх-сти следует обычная (по признаку сравнения). Определение сходимости интеграла «в смысле главного значения». Пример. ^ Глава 3. Кратные интегралы §1. Определение, свойства, методы вычисления. Определение (через разбиение области и предельный переход).
^ §2. Замена переменных в кратном интеграле. Полярные, цилиндрические, сферические координаты. Вывести формулы перехода к полярным координатам на плоскости: . Геометрический смысл определителя Якоби, учёт искажений (деформаций). Чертёж: Вычислить определитель Якоби Пример: вычисление площади круга с помощью полярных координат. Пример. , где D - круг радиуса 1. Вывести формулы перехода к цилиндрическим координатам в пространстве: . Вычислить определитель Якоби Вывести формулы перехода к сферическим координатам в пространстве: . Чертёж: Вычислить определитель Якоби . Пример: вычисление объёма шара с переходом к сферическим координатам. Лекция 9: 10 марта. §3. Приложения кратных интегралов.
Задание кривых и поверхностей - явно, неявно, параметрически (общий вид и пример для окружности радиуса 1).
Пример. Винтовая поверхность . 3. Вывод формулы площади поверхности. . . Явно заданная поверхность (следствие): . Пример: вычисление площади сферы, заданной параметрически, или полусферы, заданной явно. Лекция 10: 14 марта. ^ §1. Криволинейные и поверхностные интегралы 1-го рода (от скалярных функций). Определение. Свойства, геометрический и физический смысл. Вывод формул вычисления для параметрически заданной и явно заданной кривой, поверхности. Частные случаи и связь с прошлыми темами: если F=1, то формула длины кривой и площади поверхности. Если многообразие плоское, то определённый или двойной интеграл. ^ §2. Криволинейные и поверхностные интегралы 2-го рода (от векторных функций). Определение. Свойства, геометрический и физический смысл. Работа силы по перемещению точки по кривой, поток поля через поверхность. Вывод формул вычисления для параметрически заданной и явно заданной кривой, поверхности. Примеры. ^ §3. Элементы теории поля. Опр. скалярного, векторного поля. (P,Q,R).Градиент скалярного поля. Потенциальное поле: сущ. U что ,.... Потенциал векторного поля. U+C. Пример. . Опр. Работа по замкнутому контуру наз циркуляцией. Теорема 1. Криволинейный интеграл 2 рода от F не зависит от пути циркуляция = 0. ДОК. Теорема 2. Поле F потенциально Криволинейный интеграл 2 рода от F не зависит от пути. Он равен U(B)-U(A). ДОК. Лекция 13: 24 марта. Ротор и дивергенция векторного поля. Теорема 3. Если поле потенциально, то ротор =0. Теорема 4 - следствие для плоского поля: поле потенциально . Алгоритм нахождения потенциала, примеры в плоскости и пространстве. Композиции операций. Доказать, что ротор градиента = 0. Доказать, что дивергенция ротора =0. ^ Интегральные формулы. Теорема Грина (формула Грина) - ДОК-ВО. Теорема Стокса (формула Стокса). Пример вычисления по формуле Грина. Формула Остроградского-Гаусса. Физический смысл дивергенции. ^ Интегралы, зависящие от параметра. В том числе несобственные. Гамма-функция и её свойства, область определения, связь с факториалом. Бета-функция. ^ Дифференциальные уравнения - основные определения и понятия. Уравнения с разделяющимися переменными. Поле направлений, интегральные кривые. Примеры: , , . Понятие задачи Коши, примеры. Однородные уравнения. Доказать, что замена сводит однородное к уравнению с разделяющимися переменными. Пример: ^ Линейные уравнения 1 порядка. Доказать и обосновать алгоритм решения, метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной). Уравнения Бернулли. Доказать и обосновать алгоритм решения уравнений Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах. Доказать, что уравнение является в полных дифференциалах . ^ Приближённые методы. Метод Эйлера. Метод последовательных приближений. Пример , получение разложения exp по формуле Тейлора. Глава 2. Дифференциальные уравнений высших порядков, системы дифф. уравнений. Общие методы понижения порядка и замены. Доказать, что замена понижает порядок уравнения, в котором отсутствуют младшие порядки производных. Пример: , задача Коши , задача с 2 условиями . Доказать, что замена понижает порядок уравнения, в котором отсутствует . Пример: (уравнение колебаний) этим методом. ^ §2. Линейные уравнения высшего порядка. Доказать, что является решением r есть характеристический корень (теорема 1). Пример . Пространства функций. Определение линейной зависимости и независимости. Определитель Вронского. Доказать, что система линейно-зависима (теорема 2). Свойства ЛЗС и ЛНС систем. Доказать, что , - линейные операторы (теорема 3). Доказать теорему о наложении решений: если - решения уравнений , , то - решение такого же уравнения с правой частью (теорема 4). Доказать, что сумма двух решений лин.неодн.диф.ур и лин. однор. диф. ур является решением неоднородного уравнения (Т5). Доказать, что сумма двух решений лин.одн.диф.ур тоже является решением этого уравнения (Т6). ^ Теорема существования и единственности решения. Теорема 7. Доказать, что определитель Вронского для системы решений лин.однор. дифф. уравнения не обращается в 0 ни в одной точке. Теорема 8. (о существовании базиса пространства решений и о виде общего решения). Доказать, что существует n линейно-независимых решений лин.одн.диф.ур. порядка n/ Доказать, что всякое n+1 е решение линейно выражается через ЛНС из n решений. Определение ФСР. Теорема 9. О виде общего решения лин. неодн. дифф. уравнения. случай 1 - все корни различны. Доказать, что система линейно независима. ^ случай 2 - есть кратные корни. Доказать, что система линейно независима и входит в ФСР однородного уравнения, если 0 есть корень кратности k. Доказать, что входит в ФСР однородного уравнения, если r есть корень кр-сти k. Пример. . случай 3 - есть комплексные корни. Примеры. (колебания), (затухающие колебания). Метод Лагранжа для линейного неоднородного уравнения порядка n. Пример . Метод неопределённых коэффициентов для линейного неоднородного уравнения порядка n (по правой части специального вида). ^ Метод неопределённых коэффициентов (продолжение). Задача Коши для n параметров. Примеры: Системы дифференциальных уравнений. Сведение системы n уравнений 1-го порядка к уравнению порядка n и наоборот. Взаимосвязь системы в форме Коши и уравнения 1-го порядка. Примеры: ^ Системы. Метод Лагранжа. Доказательство и обоснование. Примеры: Лекция 24: 5 мая. ТФКП. Комплексные числа и представление точками на плоскости. Мнимая единица. Сложение и вычитание, умножение и деление в алгебраической форме. Сопряжённое число. Поиск корней для многочлена с отрицательным дискриминантом. ^ Вывод формулы логарифма. Доказать, что - обобщение cos. Метод восстановления f(z) по данным u,v через , . Схема отображения . ^ Схема отображения линейной функции, связь с линейным оператором поворота в плоскости. Определение предела и непрерывности. Определение дифференцируемой функции. Определение производной. Доказать, что . Теорема о связи дифференцируемости с условиями Коши-Римана. следствие: векторные поля (v,u), (-u,v) потенциальны. Метод вычисления производной: . ^ Геометрический смысл производной. Теорема: доказать, что условия Коши-Римана эквивалентны условию Примеры: , , . Определение аналитической функции. Лемма: Если функция дифференцируема в области, то она аналитична в области. - дифференцируема но не аналитична в 0 . Определение сопряжённых гармонических функций. Теорема. Доказать, что из условий Коши-Римана следует , . Вывод метода восстановления аналитической функции по U или V. Примеры: 1) , 2) . Лекция 28: 19 мая. Лекция 29: 23 мая. Лекция 30: 26 мая. Лекция 31: 30 мая. Данный электронный конспект будет дополняться и уточняться вплоть до конца семестра. По всем замеченным опечаткам обращаться к лектору. | ||||||||||||||||||||||||
Похожие:
 | Неопределенный интеграл. Примеры решений Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом Неопределенный... | | Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений На данном уроке мы начнем изучение темы Неопределенный интеграл, а также подробно разберем примеры решений простейших (и не совсем)... |
| Интегральное исчисление первообразная и неопределённый интеграл. Свойства неопределённого интеграла В интегральном исчислении решается обратная задача: для заданной функции f (X) требуется найти такую функцию f (X), для которой f... | | Тема: Неопределенный интеграл, его свойства и основные методы интегрирования Для всякой математической операции прямого действия всегда существует операция обратного действия. Сложение и вычитание, умножение... |
| Лекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно... | | Тема 1 Неопределенный интеграл Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной или дифференциала функции. В интегральном исчислении... |
| I. Неопределенный интеграл На основании формулы при этом решается задача нахождения дифференциала функции. Рассмотрим теперь обратные операции, осуществляющие... | | § поверхностный интеграл I рода (по площади поверхности) Поверхностный интеграл I рода представляет собой такое же обобщение двойного интеграла, каким криволинейный интеграл I рода является... |
| 24. Первообразная. Неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f (Х) необходимо найти ее производную. Интегральное исчисление решает... | | Лекция Последовательности, предел последовательности Опр. Последовательностью называют числовую функцию, заданную на множестве n натуральных чисел |